Determinare una base di W

[sandroli92]

salve ragazzi allora ho il seguente problema:

sia A=(3 -4) matrice appartenente a R2x2 e sia W={I,A,A^2}
(4 3)

devo determinare una base di W. come devo procedere?? grazie mille!!!!!

[Kashaman]

la tua matrice è questa :
$A=((3,-4),(4,3)) in M_2(RR)$?
e $W={I_n, A, A^2}$?
dove $I_n=((1,0),(0,1))$
che ne dici di calcolarti $A^2$ e verificare se $I_n, A, A^2$ sono linearmente indipendenti ^_^?

[Seneca1]

Il titolo tutto in maiuscolo non è conforme al regolamento; ti chiediamo pertanto di modificarlo.

[ZeroMemory]

$I$ e $A$ sono indipendenti perché si vede che $A$ non è multiplo di $I$. $A^2$ invece sarà sicuramente dipendente da $I$ e $A$, è una conseguenza del teorema di Cayley-Hamilton: poiché $A$ è 2x2, il suo polinomio caratteristico ha grado 2, perciò è della forma $t^2 + at + b$. Per Cayley-Hamilton, sarà allora $A^2 + aA + bI = 0$, da cui $A^2 = -aA - bI$, cioè $A^2 in Span$. Se conosci il teorema di Cayley-Hamilton puoi dare la risposta senza eseguire alcun calcolo, sennò, come detto bene da Kashaman, calcoli $A^2$ e studi la dipendenza da $I$ e $A$.

[sandroli92]

ok grazie mille il teorema che dici tu non lo abbiamo trattato comunque ora provo a studiare la dipendenza di I con A
(scusate ma che cosa usate per scrivere le cose matematiche come matrici ecc..)

[sandroli92]

fatto credo di aver risolto... la base finale quindi sara soltanto formata da I e da A , visto che A^2 è combinazione lineare di quei due...

[Kashaman]

si . ma puoi scegliere come base o $B_1={i , A}$ oppure $B_2={I , A^2}$ a tuo piacimento. (perché?)