Determinare una base di U$nn$V
Buona sera a tutti, spero possiate aiutarmi nel risolvere questo problema, in quanto mi sono bloccato nello svolgimento e non so come continuare.
Ecco l'esercizio:
Considerati i due sottospazi di $RR^3$
U={(x,y,z)$in RR^3$ |y-2z=0}
V=<(2,1,0),(1,0,3),(3,2,-3)>
Determinare una base di U$nn$V
so che u$in$U=(x,2z,z) $=>$ dimU=2
Adesso devo controllare se i vettori che generano V sono una base, per farlo devo controllare se sono linearmente indipendenti:
$\alpha(2,1,0)+\beta(1,0,3)+\gamma(3,2,-3)$=(0,0,0) $\Leftrightarrow$ ($2\alpha+\beta+3\gamma,\alpha+2\gamma,3\beta-3\gamma$) $\Leftrightarrow$
$\{(2\alpha+\beta+3\gamma=0),(\alpha+2\gamma=0),(3\beta-3\gamma=0):}$
$\{(-4\gamma+\gamma+3\gamma=0),(\alpha=-2\gamma),(\beta=\gamma):}$
Ora il problema è che la prima equazione del sistema mi viene 0=0, come devo procedere?
Ho sbagliato qualcosa?
Ecco l'esercizio:
Considerati i due sottospazi di $RR^3$
U={(x,y,z)$in RR^3$ |y-2z=0}
V=<(2,1,0),(1,0,3),(3,2,-3)>
Determinare una base di U$nn$V
so che u$in$U=(x,2z,z) $=>$ dimU=2
Adesso devo controllare se i vettori che generano V sono una base, per farlo devo controllare se sono linearmente indipendenti:
$\alpha(2,1,0)+\beta(1,0,3)+\gamma(3,2,-3)$=(0,0,0) $\Leftrightarrow$ ($2\alpha+\beta+3\gamma,\alpha+2\gamma,3\beta-3\gamma$) $\Leftrightarrow$
$\{(2\alpha+\beta+3\gamma=0),(\alpha+2\gamma=0),(3\beta-3\gamma=0):}$
$\{(-4\gamma+\gamma+3\gamma=0),(\alpha=-2\gamma),(\beta=\gamma):}$
Ora il problema è che la prima equazione del sistema mi viene 0=0, come devo procedere?
Ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Ciao, se vuoi controllare se i tre vettori di $V$ sono indipendenti oppure no allora basta studiare il rango della matrice che ottieni affiancandoli. Se questo rango è $3$ (cioè se la matrice ha determinante non nullo) allora sono indipendenti. Se invece il rango è $2$ allora significa che due vettori sono linearmente indipendenti mentre il terzo è ottenuto come combinazione lineare dei primi due. Se infine il rango è $1$ allora significa che due dei vettori sono dipendenti dall'altro.
Nel tuo caso specifico si vede abbastanza bene ad occhio che il terzo vettore si può ottenere raddoppiando il primo e sottraendogli il secondo. Invece i primi due sono indipendenti. In conclusione $V$ ha dimensione pari a $2$ e una sua base è formata dai primi due vettori.
Nel tuo caso specifico si vede abbastanza bene ad occhio che il terzo vettore si può ottenere raddoppiando il primo e sottraendogli il secondo. Invece i primi due sono indipendenti. In conclusione $V$ ha dimensione pari a $2$ e una sua base è formata dai primi due vettori.
"minomic":
Ciao, se vuoi controllare se i tre vettori di $V$ sono indipendenti oppure no allora basta studiare il rango della matrice che ottieni affiancandoli. Se questo rango è $3$ (cioè se la matrice ha determinante non nullo) allora sono indipendenti. Se invece il rango è $2$ allora significa che due vettori sono linearmente indipendenti mentre il terzo è ottenuto come combinazione lineare dei primi due. Se infine il rango è $1$ allora significa che due dei vettori sono dipendenti dall'altro.
Nel tuo caso specifico si vede abbastanza bene ad occhio che il terzo vettore si può ottenere raddoppiando il primo e sottraendogli il secondo. Invece i primi due sono indipendenti. In conclusione $V$ ha dimensione pari a $2$ e una sua base è formata dai primi due vettori.
Grazie mille per la spiegazione non ho capito un unica cosa, come la trovo la base di U$nn$V ?
Edit:
Se sono linearmente dipendenti non esiste una base di U$nn$V ?
In effetti la base dell'intersezione non te l'avevo ancora scritta... Per l'intersezione viene particolarmente comodo, secondo me, utilizzare la rappresentazione dei sottospazi per mezzo delle equazioni cartesiane. Per il primo hai già $y=2z$. Invece per il secondo puoi ottenere facilmente $3x-6y-z=0$. Se non ti è chiaro come ricavare questa equazione, dimmelo che ci torniamo.
Ora sai che un vettore appartiene all'intersezione se soddisfa entrambe le equazioni, quindi il sistema \[
\begin{cases}
y=2z \\ 3x-6y-z=0
\end{cases}
\] La soluzione, dipendente da un parametro, è \[
\begin{cases}
x=\frac{13}{3}z \\ y = 2z \\ z = z
\end{cases}
\] e quindi una base dell'intersezione è il vettore \(\begin{bmatrix}\frac{13}{3} \\ 2 \\ 1\end{bmatrix}\).
Facci sapere se è tutto chiaro.
Ora sai che un vettore appartiene all'intersezione se soddisfa entrambe le equazioni, quindi il sistema \[
\begin{cases}
y=2z \\ 3x-6y-z=0
\end{cases}
\] La soluzione, dipendente da un parametro, è \[
\begin{cases}
x=\frac{13}{3}z \\ y = 2z \\ z = z
\end{cases}
\] e quindi una base dell'intersezione è il vettore \(\begin{bmatrix}\frac{13}{3} \\ 2 \\ 1\end{bmatrix}\).
Facci sapere se è tutto chiaro.
Si ho qualche problema nel capire da dove viene ricavata l'equazione: $3x-6y-z=0$
Ti sarei molto grato se me lo spiegassi perché domani ho l'esame di geometria e questa credo sia l'unica cosa che non mi è chiara.
Ti sarei molto grato se me lo spiegassi perché domani ho l'esame di geometria e questa credo sia l'unica cosa che non mi è chiara.
Prendiamo i vettori \(\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}\) e \(\begin{bmatrix}1\\0\\3\end{bmatrix}\). A questo punto ci chiediamo come si possa esprimere un vettore di questo sottospazio con una o più equazioni. Un generico vettore \(\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}\) è elemento del sottospazio se esiste una soluzione del sistema \[
\alpha\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix}1\\0\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}
\] che è rappresentato dalla matrice \[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & x \\ 1 & 0 & y \\ 0 & 3 & z
\end{bmatrix}
\] La matrice incompleta ha rango $2$, quindi è necessario che anche la completa abbia rango $2$. Questo equivale ad imporre che il determinante della completa sia nullo. Il determinante risulta essere $3x-6y-z$ e quindi la nostra equazione è proprio \[ 3x-6y-z = 0 \] Ovviamente si può notare che entrambi i vettori di partenza la soddisfano.
\alpha\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix}1\\0\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}
\] che è rappresentato dalla matrice \[
\begin{bmatrix}
2 & 1 & x \\ 1 & 0 & y \\ 0 & 3 & z
\end{bmatrix}
\] La matrice incompleta ha rango $2$, quindi è necessario che anche la completa abbia rango $2$. Questo equivale ad imporre che il determinante della completa sia nullo. Il determinante risulta essere $3x-6y-z$ e quindi la nostra equazione è proprio \[ 3x-6y-z = 0 \] Ovviamente si può notare che entrambi i vettori di partenza la soddisfano.
Grazie mille sei stato chiarissimo!!!
Prego e buona fortuna per l'esame!
Grazie e scusate e disturbo di nuovo ma mi è venuto un altro dubbio $z=z$ come lo hai ricavato?
$z$ è il parametro rispetto al quale ho trovato la soluzione, quindi è per forza uguale a se stesso.
Ok grazie tante quindi in generale il parametro rispetto al quale voglio risolvere va sempre posto uguale a se stesso
Eh sì, perché se trovi tutto in funzione di $z$ allora a cosa sarà uguale $z$? Ovviamente a se stesso!
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