Determinare una base dell'insieme delle soluzioni di un sistema

[Obidream]

Salve a tutti, non ho ben chiaro come svolgere questo tipo di esercizio.
$A_3=( (6,2,2,4),(-3,-1,-1,-2),(-2,-2/3,-2/3,-4/3),(12,4,4,8))$
Dato il sistema lineare omogeneo $S_3 : A_3X=0$ si determini se possibile una base di $V_3=Sol(S_3)$
Riducendo per righe la matrice ( ho fatto $R_2->2R_2+R_1$,$R_4->2R_1-R_4$, poi ho scambiato $R_2$ con $R_3$ ed infine $R_2->3R_2+R_1$) ho ottenuto:
$A_3( (6,2,2,4),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
Quindi il rango della matrice è $1$ e la soluzione dipende da quindi da $3$ parametri ( in modo sintetico e poco formale $oo^3$).
Ora scrivo la soluzione:
$6x+2y+2z+4t=0$ ovvero $x=-1/3y-1/3z-2/3t$
Quindi $X$ è soluzione se e solo se $X=(-1/3y-1/3z-2/3t,y,z,t)$
Solo questo a punto non riesco a ritrovarmi con l'esercizio che mi dice:
"una base di $V_3 = Sol (S_3)$ è data da $(1, −3, 0, 0), (0, −1, 0, 1), (0, −1, 1, 0)$"

[Obidream]

Up!

[Peter Pan1]

Ciao
molto probabilmente il secondo vettore $ (0,-1,0,1) $ è sbagliato perchè per quei valori di $ y,z,t $ dovrebbe tornare $ (-1/3,-1,0,1) $. Comunque il ragionamento è corretto. Si tratta di trovare il $ kerA $.