Determinare una base del nucleo e una base dell'immagine
Salve a tutti,
devo trovare una base del nucleo e una base dell'immagine dell'applicazione lineare $f:R^3->R^2 | f(x,y,z)=(x-2y, y-x)$ e stabilire se questa sia iniettiva o suriettiva,
dopo di che devo trovare un'altra applicazione lineare $g:R^3-R^2$ diversa da f ma che abbia stesso nucleo e stessa immagine.
vorrei proporvi la mia soluzione per vedere se siete d'accordo
:
metto a sistema le equazioni che compongono l'applicazione lineare:
\( \begin{cases} x-2y=0\\ y-x=0 \end{cases} \)
ricavo la matrice associata e la riduco a gradini, ricavando come matrice ridotta la matrice:
$((1,-2), (0,-1) )$
e come soluzione come soluzione:
\( \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \)
di conseguenza, $B(Ker(f)) = {(0,0)}$ e $B(Im(f)) = {(1, -1)}$
per quanto riguarda iniettività e suriettività,
l'applicazione è iniettiva (perchè dim(Ker(f)) = {0})
l'applicazione NON è suriettiva (perchè dim(im(f)) non ha cardinalità 2 (essendo l'applicazione da r3 a r2))
infine, un'applicazione con stesso nucleo e stessa immagine di f potrebbe essere $g:R^3->R^2|g(x,y,z)=(x-6y, -x+5y)$ che ha stessa im e stesso nucleo di f
che ne pensate? sono insicuro soprattutto sull'ultim punto in quanto mi sembra di averlo risolto in modo troppo sbrigativo, ho semplicemente cambiato i coefficienti delle y...
attendo risposta,
grazie mille in anticipo
devo trovare una base del nucleo e una base dell'immagine dell'applicazione lineare $f:R^3->R^2 | f(x,y,z)=(x-2y, y-x)$ e stabilire se questa sia iniettiva o suriettiva,
dopo di che devo trovare un'altra applicazione lineare $g:R^3-R^2$ diversa da f ma che abbia stesso nucleo e stessa immagine.
vorrei proporvi la mia soluzione per vedere se siete d'accordo
:metto a sistema le equazioni che compongono l'applicazione lineare:
\( \begin{cases} x-2y=0\\ y-x=0 \end{cases} \)
ricavo la matrice associata e la riduco a gradini, ricavando come matrice ridotta la matrice:
$((1,-2), (0,-1) )$
e come soluzione come soluzione:
\( \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \)
di conseguenza, $B(Ker(f)) = {(0,0)}$ e $B(Im(f)) = {(1, -1)}$
per quanto riguarda iniettività e suriettività,
l'applicazione è iniettiva (perchè dim(Ker(f)) = {0})
l'applicazione NON è suriettiva (perchè dim(im(f)) non ha cardinalità 2 (essendo l'applicazione da r3 a r2))
infine, un'applicazione con stesso nucleo e stessa immagine di f potrebbe essere $g:R^3->R^2|g(x,y,z)=(x-6y, -x+5y)$ che ha stessa im e stesso nucleo di f
che ne pensate? sono insicuro soprattutto sull'ultim punto in quanto mi sembra di averlo risolto in modo troppo sbrigativo, ho semplicemente cambiato i coefficienti delle y...
attendo risposta,
grazie mille in anticipo
Risposte
ciao,
data una \( \phi: R^3->R^2 \), la matrice ad essa associata deve essere del tipo $\xi \in M_{2x3}$, poiché per definizione, la matrice associata a un'applicazione lineare che va da \( R^m->R^n \) è del tipo $M_{nxm}$
Inoltre, come può un elemento del $ker \phi$ avere dimensione pari a $2$, se lo spazio di partenza è proprio $R^{3}$ ?
Gli elementi del kernel infatti sono proprio quei vettori che vengono mappati in zero dall'applcazione \phi, e pertanto devono appartenere allo spazio di partenza
Base del $ker= <(0,0,1)>$, per "nullità più rango" : $dimIm(\phi) = 3 - dim \ker(phi) = 3-1 = 2$
e una base dell'immagine è data da: $<(1,-1),(-2,1)>$
data una \( \phi: R^3->R^2 \), la matrice ad essa associata deve essere del tipo $\xi \in M_{2x3}$, poiché per definizione, la matrice associata a un'applicazione lineare che va da \( R^m->R^n \) è del tipo $M_{nxm}$
Inoltre, come può un elemento del $ker \phi$ avere dimensione pari a $2$, se lo spazio di partenza è proprio $R^{3}$ ?
Gli elementi del kernel infatti sono proprio quei vettori che vengono mappati in zero dall'applcazione \phi, e pertanto devono appartenere allo spazio di partenza
Base del $ker= <(0,0,1)>$, per "nullità più rango" : $dimIm(\phi) = 3 - dim \ker(phi) = 3-1 = 2$
e una base dell'immagine è data da: $<(1,-1),(-2,1)>$
ho capito il mio errore, non ho considerato la z giusto?
correggendo quindi la matrice diventa:
$((1,-2,0),(-1,1,0)) -> ((1,-2,0),(0,-1,0))$
ora però mi sono sorti dei dubbi: io come b dell'immagine ho sempre preso le colonne dove copaiono i pivot (in questo caso queindi la mia base sarebbe B(im(f)) = {(1,0), (-2,-1) } ) e come base del kernel i vettori che compongono la soluzione (in questo caso {(0, 0, 1)} )
questo ragionamento è sbagliato? perchè non mi trovo con i tuoi risultati però ho fatto un sacco di esercizi "già svolti" e confrontando i risultati mi son sempre trovato
correggendo quindi la matrice diventa:
$((1,-2,0),(-1,1,0)) -> ((1,-2,0),(0,-1,0))$
ora però mi sono sorti dei dubbi: io come b dell'immagine ho sempre preso le colonne dove copaiono i pivot (in questo caso queindi la mia base sarebbe B(im(f)) = {(1,0), (-2,-1) } ) e come base del kernel i vettori che compongono la soluzione (in questo caso {(0, 0, 1)} )
questo ragionamento è sbagliato? perchè non mi trovo con i tuoi risultati però ho fatto un sacco di esercizi "già svolti" e confrontando i risultati mi son sempre trovato
Ho fatto un errore di copiatura, perdonami ! Ho corretto la soluzione nella prima risposta
ho capito il mio errore, non ho considerato la z giusto?
esatto... o meglio, per trovare la matrice associata alla $\phi$ devi vedere come vengono mappati gli elementi della base canonica dello spazio di partenza, ossia di $R^3$ nel nostro caso. Tu invece hai considerato solamente i primi due elementi della base canonica, cioè $e_{1}, e_{2}$.
"feddy":
Ho fatto un errore di copiatura, perdonami ! Ho corretto la soluzione nella prima risposta
stavano crollando tutte le mie convinzioni ahahah xD grazie mille!alla luce di queste modifiche quindi f non è iniettiva ma è suriettiva giusto?
per quanto riguarda il punto due, come applicazione lineare con stesso nucleo e stessa immagine non mi viene niente in mente... come posso svolgere questa tipologia di esercizio? immagino non ci sia un metodo meccanico
a prima vista sono obbligato a mantenere il coefficiente della x e della y uguale, ma per ogni valore di z != 0 poi mi ritrovo una base del nucleo diversa
sì, se $dim(Im(\phi))=2 = dim(R^{2})$ l'applicazione è suriettiva
per quel che riguarda il secondo punto un'applicazione con stesso $ker$ e $dim$ potrebbe essere questa:
$ \xi: R^{3}rarr R^{2}, \xi(x,y,z) = (x+2y,x-y) $
come puoi verificare $\ker\phi = \ker\xi$
l'immagine di $\xi$ è data da $<(-1,1),(2,-1)>$, che a meno di una fattore di proporzionalità non nullo, è uguale a $Im(\phi)$.
vista l'ora spero di non prendere alcun abbaglio
per quel che riguarda il secondo punto un'applicazione con stesso $ker$ e $dim$ potrebbe essere questa:
$ \xi: R^{3}rarr R^{2}, \xi(x,y,z) = (x+2y,x-y) $
come puoi verificare $\ker\phi = \ker\xi$
l'immagine di $\xi$ è data da $<(-1,1),(2,-1)>$, che a meno di una fattore di proporzionalità non nullo, è uguale a $Im(\phi)$.
vista l'ora spero di non prendere alcun abbaglio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo