Determinare un sistema lineare di cui un dato insieme A sia l'insieme delle soluzioni

[fenghuang]

Ciao a tutti e intanto grazie per l'attenzione! Avrei un problema con il seguente esercizio, diviso in due parti: la prima l'ho svolta penso in maniera corretta(ho giusto un dubbio alla fine), la seconda invece non so proprio come farla. Ho provato un paio di volte ma non arrivavo mai da nessuna parte, quindi speravo che qualcuno potesse spiegarmi come svolgerlo o quantomeno come impostarlo. L'esercizio è il seguente:

Dati gli insiemi

$S={((x),(y),(z),(t)) \in RR^4 : x + y -z = 0,y + z -t = 0}$

$T=<((1),(-1),(0),(0)),((0),(0),(-1),(-1)),((0),(1),(-1),(0))>$

1)determinare basi e dimensioni di $S$, $T$, $S nn T$, $S + T$;
2)determinare un sistema lineare di equazioni omogeneo di cui T sia l'insieme delle soluzioni.

Ecco come ho svolto il tutto:

1) Guardando il generico $s \in S$

$s = ((x),(y),(x+y),(x+2y)) = x((1),(0),(1),(1)) + y((0),(1),(1),(2))$

questi ultimi due vettori quindi generano $S$, inoltre vedo che sono indipendenti quindi ho trovato una base di $S$.

$B_S ={((1),(0),(1),(1)),((0),(1),(1),(2))}$

da cui deduco che $dim(S)= 2$.

Per quanto riguarda T, se conosco dei vettori che lo generano mi basta verificare che essi siano tra loro indipendenti per trovare una base. Nel caso non lo fossero mi basterebbe eliminare i vettori dipendenti. In questo caso sono tutti e tre indipendenti quindi

$B_T = {((1),(-1),(0),(0)),((0),(0),(-1),(-1)),((0),(1),(-1),(0))} $

da cui $dim(T) = 3$.

Ora lavoro su $S nn T$. Il generico $v \in S nn T$ deve essere

$v = α((1),(0),(1),(1)) + β((0),(1),(-1),(0)) = γ((1),(-1),(0),(0)) + δ((0),(0),(-1),(-1)) + ε((0),(1),(-1),(0)) $

Risolvo il sistema associato

${(α = γ ),(β= -γ +ε),(α + β = - δ - ε),(α +2β = - δ):}$

da cui

${(α = 0 ),(β= ε),(δ = -2 ε),(γ= 0):}$

perciò posso riscrivere $v$ come

$v = ε((0),(1),(-1),(0)) = -2ε((0),(0),(-1),(-1)) + ε((0),(1),(-1),(0)) $

da cui deduco che $v$ è multiplo di $((0),(1),(-1),(0))$ quindi ho che la base di $S nn T$ è

$B_(SnnT) = {((0),(1),(-1),(0))}$

e quindi $dim(SnnT) = 1$

Dalla formula di Grassman ricavo che $dim(S + T) = 2 +3 -1 = 5$

Ora, per trovare una base di $S + T$ non sono molto sicuro sul da farsi. Io guarderei nelle basi di $S$ e di $T$ come sono fatti i vettori, se ne trovo di dipendenti li scarto e tengo come base i vettori indipendenti rimasti. È giusto come procedimento?

In questo caso ho ragionato in un altro modo: $T$ e $S$ sono sottospazi di $RR^4$ e $dim(T + S) = 4$, quindi $T + S = RR^4$. Di conseguenza una base per $T+S$ è la base canonica giusto?

Ringrazio di nuovo tutti per l'attenzione

[garnak.olegovitc1]

@fenghuang,
così a prima vista, dato l'orario, senza guardare in dettaglio la prima cosa che mi è saltata all'occhio è:

"fenghuang":
Dalla formula di Grassman ricavo che $dim(S + T) = 2 +3 -1 = 5$

per due cose, mi viene in mente, quella dimensione è errata:

1° : vabbè, la somma algebrica non fa \( 5 \) ma \(4 \)
2° : \(S + T \) è sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^4 \), ergo ammesso non aver visto l'errore di calcolo bisogna sapere, quando si fanno questi esercizi, che la "dimensione di un qualsiasi sottospazio vettoriale, in questo caso \( S +T \), è sempre al massimo la dimensione dello spazio, in questo caso \( \Bbb{R}^4 \) (dove \(\dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^4)=4\))"..

Saluti

edit: ti confermo intanto[nota]ti confermo a tratti perchè ho problemi al pc e alla linea [/nota] che \(\dim_\Bbb{R}(S)=2 \) e \(\dim_\Bbb{R}(T)=3 \).... hai fatto bene sostituire a \(z \) di \( y+z=t \) la forma \( z=x+y\) ricavata dalla prima equazione (di solito un buon metodo per capire quali variabili libere scegliere[nota]anche se la scelta secondo il mio testo di algebra è arbitraria[/nota] è quello di studiare il sistema \(\left\{\begin{matrix}
x + y -z = 0\\
y + z -t = 0
\end{matrix}\right.\).. etc etc.., se non volessi applicare la sostituzione da te fatta si potrebbe erroneamente dedurre \( S \) generato da tre vettori andando contro l'ipotesi.. , io preferisco giustificare ogni passaggio procedendo con lo studio di quel sistema.. ma nulla tolgo al tuo metodo il quale necessita moolta attenzione a come lo si usa , ovviamente se conosci cosa sono le eq. cartesiane il discorso si capisce maggiormente e diventa più semplice ) ... (per il resto rimando tutto a domani.. son le 4 di notte e devo dormire )

[garnak.olegovitc1]

@fenghuang,
rieccomi , tu avevi scritto:

"fenghuang":
1) Guardando il generico $s \in S$
$s = ((x),(y),(x+y),(x+2y)) = x((1),(0),(1),(1)) + y((0),(1),(1),(2))$
questi ultimi due vettori quindi generano $S$, inoltre vedo che sono indipendenti quindi ho trovato una base di $S$.
$B_S ={((1),(0),(1),(1)),((0),(1),(1),(2))}$
da cui deduco che $dim(S)= 2$.
Per quanto riguarda T, se conosco dei vettori che lo generano mi basta verificare che essi siano tra loro indipendenti per trovare una base. Nel caso non lo fossero mi basterebbe eliminare i vettori dipendenti. In questo caso sono tutti e tre indipendenti quindi
$B_T = {((1),(-1),(0),(0)),((0),(0),(-1),(-1)),((0),(1),(-1),(0))} $
da cui $dim(T) = 3$.

poi:

"fenghuang":
Ora lavoro su $S nn T$. Il generico $v \in S nn T$ deve essere
$v = α((1),(0),(1),(1)) + β((0),(1),(-1),(0)) = γ((1),(-1),(0),(0)) + δ((0),(0),(-1),(-1)) + ε((0),(1),(-1),(0)) $

aspetta un attimo, avevi detto/scritto che[nota]preferisco scrivere le \(4-\)uple in riga, ti renderai conto che sono la stessa cosa [/nota] $$S = \mathscr{L}((1,0,1,1),(0,1,1,2))=<(1,0,1,1),(0,1,1,2)>=\operatorname{span}((1,0,1,1),(0,1,1,2))$$ quindi dovresti avere $$v = \alpha(1,0,1,1) + \beta(0,1,1,2) = \gamma(1,-1,0,0) + \delta(0,0,-1,-1) + \varepsilon(0,1,-1,0) $$ concordi? Se si, allora forse cambia qualcosa!!??

Saluti

[fenghuang]

Innanzitutto, grazie mille per le risposte garnak
Poi, ovviamente 2 + 3 -1 non fa cinque, errore di distrazione scusate
Per quanto riguarda la correzione che facevi qui

"garnak.olegovitc":@fenghuang,
rieccomi , tu avevi scritto: [quote="fenghuang"]

1) Guardando il generico $ s \in S $

$ s = ((x),(y),(x+y),(x+2y)) = x((1),(0),(1),(1)) + y((0),(1),(1),(2)) $

questi ultimi due vettori quindi generano $ S $, inoltre vedo che sono indipendenti quindi ho trovato una base di $ S $.

$ B_S ={((1),(0),(1),(1)),((0),(1),(1),(2))} $

da cui deduco che $ dim(S)= 2 $.

Per quanto riguarda T, se conosco dei vettori che lo generano mi basta verificare che essi siano tra loro indipendenti per trovare una base. Nel caso non lo fossero mi basterebbe eliminare i vettori dipendenti. In questo caso sono tutti e tre indipendenti quindi

$ B_T = {((1),(-1),(0),(0)),((0),(0),(-1),(-1)),((0),(1),(-1),(0))} $

da cui $ dim(T) = 3 $.

poi:

"fenghuang":

Ora lavoro su $ S nn T $. Il generico $ v \in S nn T $ deve essere

$ v = α((1),(0),(1),(1)) + β((0),(1),(-1),(0)) = γ((1),(-1),(0),(0)) + δ((0),(0),(-1),(-1)) + ε((0),(1),(-1),(0)) $

aspetta un attimo, avevi detto/scritto che[nota]preferisco scrivere le \( 4- \)uple in riga, ti renderai conto che sono la stessa cosa [/nota] \[ S = \mathscr{L}((1,0,1,1),(0,1,1,2))=<(1,0,1,1),(0,1,1,2)>=\operatorname{span}((1,0,1,1),(0,1,1,2)) \] quindi dovresti avere \[ v = \alpha(1,0,1,1) + \beta(0,1,1,2) = \gamma(1,-1,0,0) + \delta(0,0,-1,-1) + \varepsilon(0,1,-1,0) \] concordi? Se si, allora forse cambia qualcosa!!??
[/quote]

la correzione è giusta, perchè avevo scritto male, però se ci fai caso dopo vado avanti utilizzando i vettori corretti della base(probabilmente ho sbagliato a copiare dal foglio, di nuovo una distrazione )
Quindi in teoria credo che quella parte sia corretta no?

Poi, scusa ancora, non ho capito cosa intendi quando dici

"garnak.olegovitc":@fenghuang,

2° : \( S + T \) è sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^4 \), ergo ammesso non aver visto l'errore di calcolo bisogna sapere, quando si fanno questi esercizi, che la "dimensione di un qualsiasi sottospazio vettoriale, in questo caso \( S +T \), è sempre al massimo la dimensione dello spazio, in questo caso \( \Bbb{R}^4 \) (dove \( \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^4)=4 \))"..

o meglio, capisco questa tua osservazione e ovviamente sono d'accordo, però non va a confermarmi il ragionamento che ho fatto per quanto riguarda $S+T$ giusto? voglio dire, il mio ragionamento è un po' buttato lì e non ne sono sicuro. Mi spiego meglio:
è vero che $dim(S+T)=4$, ma detto questo è corretto assumere allora che$S+T = RR^4$? Io così, a intuito, direi di no, e di conseguenza il mio ragionamento sulla base canonica non funzionerebbe ed essa non sarebbe utilizzabile per rappresentare $S+T$

Ti ringrazio ancora per l'aiuto

[garnak.olegovitc1]

@fenghuang,

"fenghuang":Innanzitutto, grazie mille per le risposte garnak

Prego

"fenghuang":
la correzione è giusta, perchè avevo scritto male, però se ci fai caso dopo vado avanti utilizzando i vettori corretti della base(probabilmente ho sbagliato a copiare dal foglio, di nuovo una distrazione )
Quindi in teoria credo che quella parte sia corretta no?

devo rivedere un attimo i calcoli, è passato troppo tempo, appena torno a casa, sperando di non dimenticare, li rivedo!

"fenghuang":Poi, scusa ancora, non ho capito cosa intendi quando dici [quote="garnak.olegovitc"]@fenghuang,
2° : \( S + T \) è sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^4 \), ergo ammesso non aver visto l'errore di calcolo bisogna sapere, quando si fanno questi esercizi, che la "dimensione di un qualsiasi sottospazio vettoriale, in questo caso \( S +T \), è sempre al massimo la dimensione dello spazio, in questo caso \( \Bbb{R}^4 \) (dove \( \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^4)=4 \))"..

o meglio, capisco questa tua osservazione e ovviamente sono d'accordo, però non va a confermarmi il ragionamento che ho fatto per quanto riguarda $S+T$ giusto? voglio dire, il mio ragionamento è un po' buttato lì e non ne sono sicuro. Mi spiego meglio:
è vero che $dim(S+T)=4$, ma detto questo è corretto assumere allora che$S+T = RR^4$? Io così, a intuito, direi di no, e di conseguenza il mio ragionamento sulla base canonica non funzionerebbe ed essa non sarebbe utilizzabile per rappresentare $S+T$
Ti ringrazio ancora per l'aiuto [/quote] come ho detto prima, devo fare qualche calcolo per risponderti , comunque se un sottospazio vettoriale ha dimensione uguale allo spazio vettoriale allora sono uguali e una base per uno è base per l'altro!
Saluti

[garnak.olegovitc1]

@fenghuang,,
avevamo detto che $$S = \mathscr{L}((1,0,1,1),(0,1,1,2))=<(1,0,1,1),(0,1,1,2)>=\operatorname{span}((1,0,1,1),(0,1,1,2))$$ quindi dovresti avere $$S \cap T \ni(x,y,z,t)=v = \alpha(1,0,1,1) + \beta(0,1,1,2) = \gamma(1,-1,0,0) + \delta(0,0,-1,-1) + \epsilon(0,1,-1,0) $$ facendo un po di calcoli e sapendo che \(x,y,z,t \in \Bbb{R}\) ed \( \Bbb{R}\) è campo ottengo il tuo sistema e $$\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
\alpha=\gamma=x\\
\beta=\epsilon-\gamma=y\\
\alpha+\beta=-\delta - \epsilon=z\\
\alpha+2\beta=-\delta=t
\end{matrix}\right. \to \Sigma:=\left\{\begin{matrix}
\alpha-\gamma=0\\
\beta-\epsilon+\gamma=0\\
\alpha+\beta+\delta +\epsilon=0\\
\alpha+2\beta+\delta=0
\end{matrix}\right. $$ ora tu magari procedi per sostituzione io non amo la sostituzione[nota]e l'amour [/nota] ergo associo la matrice incompleta e completa al sistemone: $$A(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
1& 0& -1& 0& 0 \\
0& 1& 1& 0&-1 \\
1& 1& 0& 1&1 \\
1& 2& 0& 1&0
\end{Vmatrix} \quad \text{e} \quad A|\text{b}(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
1& 0& -1& 0& 0 &0 \\
0& 1& 1& 0&-1 &0\\
1& 1& 0& 1&1 &0\\
1& 2& 0& 1&0 &0
\end{Vmatrix} $$ ovviamente \( \Sigma\) è un sistema lineare omogeneo ergo \( \text{numero incognite}=5<\mathbf{rnk}(A(\Sigma))=\mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))\), quindi non è Crameriano, ora il \(\mathbf{rnk}(A(\Sigma))=4\) poichè $$\det \left (\begin{Vmatrix}
1& 0& -1& 0\\
0& 1& 1& 0 \\
1& 1& 0& 1\\
1& 2& 0& 1
\end{Vmatrix} \right )=1 \neq 0$$ allora il sistema è per Rouchè-Capelli-Kronecker-Frobenius "compatibile e indeterminato" e avrà \( \infty^{5-4=1}\) soluzioni, quindi \( 1\) incognita libera, venendo incontro alla tua scelta fissiamo \( \epsilon\) incognita libera ergo il nostro sistema diventa $$\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
\alpha-\gamma=0\\
\beta+\gamma=\epsilon\\
\alpha+\beta+\delta =-\epsilon\\
\alpha+2\beta+\delta=0
\end{matrix}\right. $$ così facendo il sistema è ricondotto ad uno di tipo Crameriano ed applicando la "regola di Cramer" (per evitare rogne) avremo, non mi va di scrivere col \(\LaTeX\) i calcoli , che $$\alpha=0\;,\beta=\epsilon\;,\gamma=0\;,\delta=-2\epsilon$$ quindi \(\operatorname{Sol}(\Sigma)=\{(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon) \in \Bbb{R}^4|\alpha=0\;,\beta=\epsilon\;,\gamma=0\;,\delta=-2\epsilon\}\), arrivati a questo punto ricordiamo il sistema iniziale ed avremo che $$\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
\alpha=\gamma={\color{Red}x}=0\\
\beta=\epsilon-\gamma={\color{Red}y}=\epsilon\;\;\;\;\;\;\\
\alpha+\beta=-\delta - \epsilon={\color{Red}z}=0+\epsilon=\epsilon\;\;\;\\
\alpha+2\beta=-\delta={\color{Red}t}=2\epsilon\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\end{matrix}\right.$$ quindi il nostro vettore generico \(v \in S \cap T \) e del tipo $$ v=(0,\epsilon,\epsilon,2\epsilon)=\epsilon(0,1,1,2) \to S \cap T= \mathscr{L}((0,1,1,2))$$ e \(((0,1,1,2))\) è anche base per \( S \cap T \) ergo \( \dim_\Bbb{R}(S \cap T)=1 \), e dalla relazione di Grassman avremo che \( \dim_\Bbb{R}(S+T)=4\).. Ora mi spieghi perchè hai voluto prendere questa via? (Non capisco invece perchè ho voluto seguirti quando ti bastava calcolare le cartesiana di \( T \) e risolvere un sistema più sempliciotto ...)
Ora se vuoi un sistema lineare omogeno per \( T \) ti basta calcolare, ovviamente, le cartesiane di \( T \) (questa parte la lascio a te )...
Passo & Chiudo!

Saluti

P.S.=Prima avevo con moolta fretta, alla tua questione:

"fenghuang": Mi spiego meglio:
è vero che $dim(S+T)=4$, ma detto questo è corretto assumere allora che$S+T = RR^4$? Io così, a intuito, direi di no, e di conseguenza il mio ragionamento sulla base canonica non funzionerebbe ed essa non sarebbe utilizzabile per rappresentare $S+T$

invece "si", abbiamo visto che sono uguali e, come detto prima, una base per l'uno è base per l'altro, quindi la base canonica \( (e_1,e_2,e_3,e_4)\) per \( \Bbb{R}^4 \) è anche base per \( S +T \), come anche una base per \( S + T \) è anche base per \( \Bbb{R}^4 \)!..