Determinare un sistema di equazioni lineari in 4 incognite su R
come risolvo esercizi del tipo:
Determinare un sistema di equazioni lineari in 4 incognite su R che abbia tra le sue soluzioni i
vettori (1, 2, −1, 1) e (2, 2, 0, 1).
?
Non mi viene nulla in mente... sicuramente ci si deve arrivare tramite ragionamento, qualcuno mi aiuta?
grazie in anticipo
Determinare un sistema di equazioni lineari in 4 incognite su R che abbia tra le sue soluzioni i
vettori (1, 2, −1, 1) e (2, 2, 0, 1).
?
Non mi viene nulla in mente... sicuramente ci si deve arrivare tramite ragionamento, qualcuno mi aiuta?
grazie in anticipo
Risposte
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Ciao!
Ti dico come la ragionerei io:
La richiesta è scrivere un sistema lineare in quattro incognite che abbia tra le sue soluzioni i due vettori dati. Non sono solito a svolgere queste tipologie di esercizi, ma ci si può tranquillamente arrivare ragionando.
Un sistema lineare è compatibile ed ammette un'unica soluzione quando i ranghi della matrice incompleta e quella completa coincidono ed il numero delle incognite è pari ad esso.
Non siamo in questo caso: come puoi vedere tra le soluzioni compaiono due vettori, siamo quindi in presenza di un sistema chiamato in alcuni testi "indeterminato", che presenta infinite soluzioni al variare di un certo parametro.
I termini della quarta incognita restano invariati per entrambi i vettori, così come per i termini della seconda, bisogna quindi lavorare sui termini della prima e della terza incognita (gli altri non consideriamoli, facciamo sì che siano valori costanti).
Qui basta guardare con attenzione i due vettori ed escogitare qualcosa di sensato.
Ho notato che il risultato della terza incognita non è altro che il valore della prima incognita meno due. Siano le quattro incognite $x,y,z,t$:
Per il primo vettore delle soluzioni:
Quando $x=1$, $z=-1$ (semplicemente $z = x-2$)
Analogamente per il secondo vettore:
Quando $x=2$, $z=0$ (anche qui, $z=x-2$)
Abbiamo allora notato che $z=x-2$ funziona per entrambi i vettori delle soluzioni, possiamo tranquillamente scrivere un sistema lineare in funzione di $x$.
Scriviamo la matrice completa già ridotta a scalini:
$ ( ( -1 , 0 , 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Ora puoi metterlo in forma di sistema lineare, volendo.
Ragionaci un po' e se hai dubbi chiedi pure, non sono entrato troppo nei dettagli.
Ti dico come la ragionerei io:
La richiesta è scrivere un sistema lineare in quattro incognite che abbia tra le sue soluzioni i due vettori dati. Non sono solito a svolgere queste tipologie di esercizi, ma ci si può tranquillamente arrivare ragionando.
Un sistema lineare è compatibile ed ammette un'unica soluzione quando i ranghi della matrice incompleta e quella completa coincidono ed il numero delle incognite è pari ad esso.
Non siamo in questo caso: come puoi vedere tra le soluzioni compaiono due vettori, siamo quindi in presenza di un sistema chiamato in alcuni testi "indeterminato", che presenta infinite soluzioni al variare di un certo parametro.
I termini della quarta incognita restano invariati per entrambi i vettori, così come per i termini della seconda, bisogna quindi lavorare sui termini della prima e della terza incognita (gli altri non consideriamoli, facciamo sì che siano valori costanti).
Qui basta guardare con attenzione i due vettori ed escogitare qualcosa di sensato.
Ho notato che il risultato della terza incognita non è altro che il valore della prima incognita meno due. Siano le quattro incognite $x,y,z,t$:
Per il primo vettore delle soluzioni:
Quando $x=1$, $z=-1$ (semplicemente $z = x-2$)
Analogamente per il secondo vettore:
Quando $x=2$, $z=0$ (anche qui, $z=x-2$)
Abbiamo allora notato che $z=x-2$ funziona per entrambi i vettori delle soluzioni, possiamo tranquillamente scrivere un sistema lineare in funzione di $x$.
Scriviamo la matrice completa già ridotta a scalini:
$ ( ( -1 , 0 , 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Ora puoi metterlo in forma di sistema lineare, volendo.
Ragionaci un po' e se hai dubbi chiedi pure, non sono entrato troppo nei dettagli.
"final444h":
Scriviamo la matrice completa già ridotta a scalini:
ciao! innanzitutto ti ringrazio per la risposta!
potresti scrivere la matrice non ridotta a scalini? non ho ben capito come hai "composto" la matrice quindi mi chiarirebbe le idee vedere quella di partenza
sto provato a fare un esercizio analogo con altri vettori ( (1,-2,1,-1) , (2,3,0,1) ) sperando di riuscire a combinare qualcosa
Non serve scrivere il sistema lineare non ridotto a scalini, sarebbe una perdita di tempo inutile: un sistema lineare ridotto a scalini o no sempre un sistema lineare rimane 
.
L'idea è di comporre un sistema lineare già ridotto a scalini per renderci più facile la vita.
Allora, abbiamo detto che $y$ e $t$ sono costanti e valgono rispettivamente 2 e 1.
Nel nostro sistema equivale a porre $y=2$ e $t=1$.
Abbiamo inoltre stabilito che $z=x-2$, tutto questo è sufficiente per scrivere un sistema lineare banale:
$ { ( z=x-2 ),( y=2 ),( t=1 ):} $
Che è esattamente come scrivere la matrice completa ridotta a scalini, che ho postato prima.
Non serve che tu passi necessariamente per la matrice ridotta a scalini come ho fatto io, puoi direttamente scrivere il sistema in questo modo. La matrice ridotta l'ho solamente scritta per il modo malato in cui ragiono, tu puoi evitare.
Vuoi che ti faccia un esempio analogo?
.L'idea è di comporre un sistema lineare già ridotto a scalini per renderci più facile la vita.
Allora, abbiamo detto che $y$ e $t$ sono costanti e valgono rispettivamente 2 e 1.
Nel nostro sistema equivale a porre $y=2$ e $t=1$.
Abbiamo inoltre stabilito che $z=x-2$, tutto questo è sufficiente per scrivere un sistema lineare banale:
$ { ( z=x-2 ),( y=2 ),( t=1 ):} $
Che è esattamente come scrivere la matrice completa ridotta a scalini, che ho postato prima.
Non serve che tu passi necessariamente per la matrice ridotta a scalini come ho fatto io, puoi direttamente scrivere il sistema in questo modo. La matrice ridotta l'ho solamente scritta per il modo malato in cui ragiono, tu puoi evitare.
Vuoi che ti faccia un esempio analogo?
"final444h":
Vuoi che ti faccia un esempio analogo?
eh mi faresti un favore perchè non credo di aver capito bene :/
grazie ancora
Va bene, tra stasera e domani ti faccio qualche altro esempio abbastanza semplice così capisci il ragionamento che c'è dietro.
"final444h":
Va bene, tra stasera e domani ti faccio qualche altro esempio abbastanza semplice così capisci il ragionamento che c'è dietro.
grazie mille! gentilissimo
Allora, per sicurezza comincerei da un veloce ripasso su come risolvere sistemi lineari "indeterminati".
Considera il seguente sistema lineare:
$ { ( x+y+z=1 ),( x+2y+3z=0 ),( 2x+3y+4z=1 ):} $
La matrice completa del sistema lineare dato è la seguente:
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 2 , 3 , 4 , 1 ) ) $
La matrice incompleta la ricavi eliminando l'ultima colonna della matrice completa, ma immagino che tu questo già lo sappia. Il rango della matrice completa ed incompleta coincidono, ed è pari a 2. Questo garantisce la compatibilità del sistema. Il sistema è indeterminato poiché il numero delle incognite (cioè $x,y,z$ ) non coincide col rango delle due matrici.
La riduzione a scalini della matrice completa mediante l'algoritmo di eliminazione gaussiana è la seguente:
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Tradotta in sistema lineare può essere riscritta nel seguente modo:
$ { ( x+y+z=1 ),( y+2z=-1 ):} $
Sia la prima equazione sia la seconda presentano un termine in $y$ ed un termine in $z$, possiamo quindi decidere liberamente se determinare una generica soluzione in funzione di $y$ o in funzione di $z$, facciamolo in funzione di $z$:
$ { ( x=2+z ),( y=-1-2z ):} $
Da questo puoi ricavare infiniti vettori di soluzioni, semplicemente attribuendo un valore arbitrario a $z$.
Ad esempio, per $z=0$ otteniamo:
$ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $
Oppure, per $z=1$ otteniamo:
$ ( ( 3 ),( -3 ),( 1 ) ) $
E così via.
Negli esercizi che hai di fronte, invece, devi fare esattamente l'opposto: ti vengono assegnati almeno due vettori di soluzioni e da questi devi cercare di ricavarti una soluzione generale sotto forma di sistema lineare.
Non sono esercizi sempre facili, è ovvio. E' probabile che esistano metodologie di risoluzione abbastanza acute e veloci, ma non sono in grado di fornirtele ora come ora, ti invito quindi a cercare di ragionare sulle soluzioni proposte per arrivare a determinare una soluzione generale. Esistono un paio di trucchetti che posso consigliarti di adoperare, ma devi tener conto che non sono sempre applicabili.
Per esempio, prendi questi due vettori di soluzioni:
$ ( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) ) $ , $ ( ( 1 ),( 2 ),( 4 ) ) $
Puoi vedere che in entrambi i vettori è sempre presente il termine 1 al primo elemento, questo vuol dire che, nella soluzione generale, questo è un termine costante e varrà sempre $x=1$. La soluzione generale del sistema non può essere quindi in funzione del termine in $x$, deve essere $y$ o $z$.
Sappiamo dal primo vettore che, quando $y=1$, $z=2$. Analogamente per il secondo vettore, quando $y=2$, $z=4$. Devi riuscire a notare che $z$, in questo caso, è sempre il doppio di $y$. Da questo puoi scrivere la tua soluzione generale sotto forma di sistema lineare, e l'esercizio è completato:
$ { ( x=1 ),( z=2y ):} $
Come ti ho precedentemente detto, spesso l'esercizio proposto è molto complicato e bisogna ragionarci abbastanza sopra.
Io spero di esserti stato utile , magari esistono metodi risolutivi più rapidi ma, purtroppo, non te ne saprei elencare.
Considera il seguente sistema lineare:
$ { ( x+y+z=1 ),( x+2y+3z=0 ),( 2x+3y+4z=1 ):} $
La matrice completa del sistema lineare dato è la seguente:
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 2 , 3 , 4 , 1 ) ) $
La matrice incompleta la ricavi eliminando l'ultima colonna della matrice completa, ma immagino che tu questo già lo sappia. Il rango della matrice completa ed incompleta coincidono, ed è pari a 2. Questo garantisce la compatibilità del sistema. Il sistema è indeterminato poiché il numero delle incognite (cioè $x,y,z$ ) non coincide col rango delle due matrici.
La riduzione a scalini della matrice completa mediante l'algoritmo di eliminazione gaussiana è la seguente:
$ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Tradotta in sistema lineare può essere riscritta nel seguente modo:
$ { ( x+y+z=1 ),( y+2z=-1 ):} $
Sia la prima equazione sia la seconda presentano un termine in $y$ ed un termine in $z$, possiamo quindi decidere liberamente se determinare una generica soluzione in funzione di $y$ o in funzione di $z$, facciamolo in funzione di $z$:
$ { ( x=2+z ),( y=-1-2z ):} $
Da questo puoi ricavare infiniti vettori di soluzioni, semplicemente attribuendo un valore arbitrario a $z$.
Ad esempio, per $z=0$ otteniamo:
$ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $
Oppure, per $z=1$ otteniamo:
$ ( ( 3 ),( -3 ),( 1 ) ) $
E così via.
Negli esercizi che hai di fronte, invece, devi fare esattamente l'opposto: ti vengono assegnati almeno due vettori di soluzioni e da questi devi cercare di ricavarti una soluzione generale sotto forma di sistema lineare.
Non sono esercizi sempre facili, è ovvio. E' probabile che esistano metodologie di risoluzione abbastanza acute e veloci, ma non sono in grado di fornirtele ora come ora, ti invito quindi a cercare di ragionare sulle soluzioni proposte per arrivare a determinare una soluzione generale. Esistono un paio di trucchetti che posso consigliarti di adoperare, ma devi tener conto che non sono sempre applicabili.
Per esempio, prendi questi due vettori di soluzioni:
$ ( ( 1 ),( 1 ),( 2 ) ) $ , $ ( ( 1 ),( 2 ),( 4 ) ) $
Puoi vedere che in entrambi i vettori è sempre presente il termine 1 al primo elemento, questo vuol dire che, nella soluzione generale, questo è un termine costante e varrà sempre $x=1$. La soluzione generale del sistema non può essere quindi in funzione del termine in $x$, deve essere $y$ o $z$.
Sappiamo dal primo vettore che, quando $y=1$, $z=2$. Analogamente per il secondo vettore, quando $y=2$, $z=4$. Devi riuscire a notare che $z$, in questo caso, è sempre il doppio di $y$. Da questo puoi scrivere la tua soluzione generale sotto forma di sistema lineare, e l'esercizio è completato:
$ { ( x=1 ),( z=2y ):} $
Come ti ho precedentemente detto, spesso l'esercizio proposto è molto complicato e bisogna ragionarci abbastanza sopra.
Io spero di esserti stato utile
, magari esistono metodi risolutivi più rapidi ma, purtroppo, non te ne saprei elencare.
grazie mille.. vedrò di ragionarci un po' su...
effettivamente gli esercizi che richiedono ragionamenti simili sono molto più complessi di quelli meccanici
speriamo bene!
Grazie mille per l'aiuto!
effettivamente gli esercizi che richiedono ragionamenti simili sono molto più complessi di quelli meccanici
speriamo bene!
Grazie mille per l'aiuto!
Figurati, tra l'altro credo di averti scritto un esempio sbagliato, tra poco lo correggo!
EDIT: A posto, la soluzione generale per quei due vettori per come erano scritti non aveva senso.
EDIT: A posto, la soluzione generale per quei due vettori per come erano scritti non aveva senso.
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