Determinare un piano contenente un punto ed una retta

[Forbidden]

Dato il punto P(3,0,1)

e la retta r: { x = -t ; y = 2t + 3 ; z = 4t - 1

Determinare il piano che contiene il punto P e la retta r.

Non riesco a risolvere questo punto, Mi manca solo questo x completare il compito d´esame...Qualcuno puo aiutarmi?

ho provato col fascio di piani facendo:

1) ricavare le equazioni della retta in forma cartesiana;
2) utilizzarle nell equazione del fascio di piani;

$lambda$ $( 2x + y -3) + gamma ( 4x + z + 1) = 0 $

imporre che passi per il punto P

$ lambda ( 6 - 3) + gamma ( 12 + 2) = 0 $
$ 3 lambda + 14 gamma = 0 $


é corretto come procedimento? come ricavo il piano?

[blackbishop13]

un metodo può essere questo:

quando una retta appartiene a un piano? quando al piano appartengono due punti distinti della retta.
da qui le condizioni, considerando che la generica equazione del piano sarà del tipo $ax+by+cz=d$

[Forbidden]

ma il mio procedimento é giusto?

[mistake89]

Sì, facendo il fascio di piani per la retta ed imponendo che il punto vi appartenga determini univocamente il piano.

Potresti considerare l'equazione aperta del fascio cioè $alpha+lambdabeta$ in modo da avere un solo parametro.

[Forbidden]

mi potresti dire il procedimento per ricavare il piano da $3lambda+14gamma=0$

[mistake89]

se i tuoi conti sono esatti il fascio di piani è $2x+y-3+lambda(4x+z+1)=0$ imponendo che $P$ vi appartenga otteniamo $6+0-3+lambda(12+1+1)=0$ cioè $3+14lambda=0$ da cui $lambda=-3/14$.

Col fascio aperto ottieni direttamente il parametro. Mentre dalla tua equazioni otterresti che $gamma=-(3lambda)/14$. Per $lambda=1$ otteniamo la stessa soluzione!

Quindi il piano cercato sarà $2x+y-3-3/14(4x+z+1)=0$

[Forbidden]

il piano che ho trovato con questo procedimento $8/7x+y-13/14z-45/14=0$ é il piano contenente la retta giusto? contiene anche il punto $P(3,0,1)$ vero?

[mistake89]

Provare l'esattezza o meno di questi esercizi è semplice. Vedi se $P$ vi appartiene e vedi se, presi due punti distinti sulla retta, questi vi appartengono. Se è così è giusto altrimenti no!

Ad esempio $P$ non mi appartiene infatti si ha $24/7-13/14-45/14 != 0$. Controlla bene i conti

[Forbidden]

l'esercizio mi chiede di trovare il piano $a$ che contiene sia il punto $P$ dato che la retta $r$ data. Se $P$ non appartiene al piano la mia risoluzione dell'esercizio è errata...Non so più che fare

[mistake89]

Semplicemente ricontrollare i calcoli

Il piano cercato è infatti $16/14x+y-3/14z-45/14=0$... c'era solamente $1$ di troppo nella tua equazione!

[Forbidden]

si, ho rifatto i calcoli e viene:

$-2x+y-3+lambda(-4x+z+1)=0$

trovo il parametro $lambda$ sostituendo le coordinate del punto $P$

$-6-3+lambda(-12+1+1)=0$

$lambda= -9/10$

$-2x+y-3-9/10(-4x+z+1)=0$

Sostituisco le coordinate di $P$

$-6+0-3-9/10(-12+1+1)=0$

$-90+108-9-9=0 ----> -108+108=0$

così è verificato che sia la retta che il piano appartengano al piano $a$

il piano è quindi $16x+10y-9z-29=0$

ho capito finalmente, la ringrazio