Determinare un fascio di parabole data l'eq. dell'asse e punto di tangenza
Salve a tutti, ho un'esercizio di una prova d'esame che mi sta facendo un pò faticare...
Ecco il testo:
Nello spazio riferito ad un sistema di assi ortogonali $\vec{x}\vec{y} $, scrivere l'equazione del fascio di parabole aventi la retta di equazione : $x - y + 1 = 0$ come diametro e tangenti nel punto $A(1, 0)$ all'asse $\vec{x}$.
Tra queste trovare quella il cui asse passa per l'origine.
Il mio primo istinto è stato quello di provare a scrivere l'equazione generale di un fascio di coniche, e poi imporre le condizioni di tangenza nel punto A, e la condizione data dal diametro, ma non riesco nemmeno a capire se quello che sto provando a fare dia risultati sensati oppure no.
Inoltre ho avuto problemi per quanto riguarda la condizione imposta dal diametro. Correggetemi se sbaglio ma il diametro, per una parabola, dovrebbe coincidere con l'asse di simmetria, essendo l'unica retta passante per il centro ?
L' unico metodo di risoluzione che ho trovato per determinare il diametro di una parabola consiste in:
\[ \begin{bmatrix} m & -l & 0 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = 0\]
Cioè nel trovare la polare del punto improprio ortogonale al centro... Il problema è che non ho una matrice della conica... quindi non mi esce fuori nulla di utilizzabile... sono abbastanza confuso.
Ecco il testo:
Nello spazio riferito ad un sistema di assi ortogonali $\vec{x}\vec{y} $, scrivere l'equazione del fascio di parabole aventi la retta di equazione : $x - y + 1 = 0$ come diametro e tangenti nel punto $A(1, 0)$ all'asse $\vec{x}$.
Tra queste trovare quella il cui asse passa per l'origine.
Il mio primo istinto è stato quello di provare a scrivere l'equazione generale di un fascio di coniche, e poi imporre le condizioni di tangenza nel punto A, e la condizione data dal diametro, ma non riesco nemmeno a capire se quello che sto provando a fare dia risultati sensati oppure no.
Inoltre ho avuto problemi per quanto riguarda la condizione imposta dal diametro. Correggetemi se sbaglio ma il diametro, per una parabola, dovrebbe coincidere con l'asse di simmetria, essendo l'unica retta passante per il centro ?
L' unico metodo di risoluzione che ho trovato per determinare il diametro di una parabola consiste in:
\[ \begin{bmatrix} m & -l & 0 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = 0\]
Cioè nel trovare la polare del punto improprio ortogonale al centro... Il problema è che non ho una matrice della conica... quindi non mi esce fuori nulla di utilizzabile... sono abbastanza confuso.
Risposte
Questo problema mi ricorda di quando io, studentello universitario, volli risolvere una questione analoga
( conica per 5 punti) con il metodo del sistema. Il prof. di turno non me lo corresse nemmeno e mi
disse testualmente : "Allora il metodo del fascio di coniche l'ho spiegato mentre Lei pettinava le bambole "!!!
Ne consegue che per problemi come questi non è consigliabile " scrivere l'equazione generale di un fascio di coniche, e poi imporre le condizioni..."
Nel nostro caso hai 4 punti disponibili che, in coordinate proiettive omogenee, sono :
$A(1,0,1), B(1,0,1), C(1,1,0), D(1,1,0))$
I primi due rappresentano il punto di contatto della conica richiesta con la tangente $y=0$ e i secondi due
( che rappresentano il punto improprio del diametro $x-y+1=0$ ) sono il centro ( improprio) della conica.
Con i primi quattro punti si possono formare 2 coniche degeneri che sono :
$AB*CD=0$ che si spezza nelle rette AB e CD e $AC*BD=0$ che si spezza nelle rette AC e BD.
Pertanto l'equazione del fascio di coniche generato dai primi 4 punti dati è:
$\lambda(AB*CD)+\mu(AC*BD)=0$
Facendo i relativi calcoli si trova il fascio di coniche :
(1) $\lambda(yt)+\mu(x-y-t)^2=0$
Osserviamo ora che il centro della conica è proprio $C(1,1,0)$ e che l'asse di una parabola è la polare
della direzione ortogonale a quella del centro e quindi, nel nostro caso é la polare del punto $(1,-1,0)$
Calcolando tale polare relativamente all'equazione (1) si trova la retta
$4\mu(x-y)+(4\mu-\lambda)=0$
Imponendo il passaggio per l'origine si ha $\lambda=4\mu$ che sostituita nella (1) porta infine
all'equazione ( in coordinate non omogenee) della conica richiesta:
$(x-y)^2-2(x-3y)+1=0$
( conica per 5 punti) con il metodo del sistema. Il prof. di turno non me lo corresse nemmeno e mi
disse testualmente : "Allora il metodo del fascio di coniche l'ho spiegato mentre Lei pettinava le bambole "!!!
Ne consegue che per problemi come questi non è consigliabile " scrivere l'equazione generale di un fascio di coniche, e poi imporre le condizioni..."
Nel nostro caso hai 4 punti disponibili che, in coordinate proiettive omogenee, sono :
$A(1,0,1), B(1,0,1), C(1,1,0), D(1,1,0))$
I primi due rappresentano il punto di contatto della conica richiesta con la tangente $y=0$ e i secondi due
( che rappresentano il punto improprio del diametro $x-y+1=0$ ) sono il centro ( improprio) della conica.
Con i primi quattro punti si possono formare 2 coniche degeneri che sono :
$AB*CD=0$ che si spezza nelle rette AB e CD e $AC*BD=0$ che si spezza nelle rette AC e BD.
Pertanto l'equazione del fascio di coniche generato dai primi 4 punti dati è:
$\lambda(AB*CD)+\mu(AC*BD)=0$
Facendo i relativi calcoli si trova il fascio di coniche :
(1) $\lambda(yt)+\mu(x-y-t)^2=0$
Osserviamo ora che il centro della conica è proprio $C(1,1,0)$ e che l'asse di una parabola è la polare
della direzione ortogonale a quella del centro e quindi, nel nostro caso é la polare del punto $(1,-1,0)$
Calcolando tale polare relativamente all'equazione (1) si trova la retta
$4\mu(x-y)+(4\mu-\lambda)=0$
Imponendo il passaggio per l'origine si ha $\lambda=4\mu$ che sostituita nella (1) porta infine
all'equazione ( in coordinate non omogenee) della conica richiesta:
$(x-y)^2-2(x-3y)+1=0$
Ti ringrazio! Sei stato molto chiaro. Avevo dimenticato completamente di poter usare quei quattro punti (addirittura penso di averci risolto un esercizio tempo fa in questo modo... )
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