Determinare tutte le rette incidenti a r, s e q
Salve a tutti è la prima volta che scrivo su questo forum spero siate clementi se ho sbagliato a scrivere qualcosa 
Il mio problema è che fissato un sistema di coordinate cartesiane (O, x, y, z) dello spazio euclideo, ho 3 rette: r, s, q (nessuna delle 3 giacente su un piano) e mi si chiede di determinare tutte le rette incidenti alle rette date.
Penso che debba trovarmi una stella di rette, ma non so come impostarla dato che ho 6 piani di cui tener conto.
In attesa di una vostra risposta congratulazioni per questo fantastico forum
Il mio problema è che fissato un sistema di coordinate cartesiane (O, x, y, z) dello spazio euclideo, ho 3 rette: r, s, q (nessuna delle 3 giacente su un piano) e mi si chiede di determinare tutte le rette incidenti alle rette date.
Penso che debba trovarmi una stella di rette, ma non so come impostarla dato che ho 6 piani di cui tener conto.
In attesa di una vostra risposta congratulazioni per questo fantastico forum
Risposte
Benvenut*, un errore lo hai scritto:
"clanto007":se la memoria non m'inganna, ti dovrebbe risultare un iperboloide iperbolico o un paraboloide iperbolico; ma in questo momento non ti saprei dire altro, sicuramente il concetto di schiere di rette di una quadrica ti aiuta.
...ho 3 rette: r, s, q (nessuna delle 3 giacenti due a due sullo stesso piano)...
Spero di scrivere bene le formule, comunque le mie equazioni delle rette sono:
s: $2x-y-2=0=z-y-2$
r: $3x-2y=0=3z-y$
q: $2x+y-2z+2=0=x-2y$
e facendo un po di conti ho scoperto che la retta s e la retta q sono incidenti, quindi ho pensato di trovarmi la stella di piani passante per il punto di incidenza e poi prendere tra tutte le rette del fascio solo quelle incidenti alla retta r, mettendo a sistema retta e fascio.
L'equazione della stella di rette è questa?
$x=x_0 + at$
$y=y_0 + bt$
$z=z_0 + ct$
Sto andando bene?
j18eos* il fatto che dici dell' iperboloide iperbolico non riesco proprio ad immagginarmelo
s: $2x-y-2=0=z-y-2$
r: $3x-2y=0=3z-y$
q: $2x+y-2z+2=0=x-2y$
e facendo un po di conti ho scoperto che la retta s e la retta q sono incidenti, quindi ho pensato di trovarmi la stella di piani passante per il punto di incidenza e poi prendere tra tutte le rette del fascio solo quelle incidenti alla retta r, mettendo a sistema retta e fascio.
L'equazione della stella di rette è questa?
$x=x_0 + at$
$y=y_0 + bt$
$z=z_0 + ct$
Sto andando bene?
j18eos* il fatto che dici dell' iperboloide iperbolico non riesco proprio ad immagginarmelo
Non ho capito bene le equazioni, inoltre, se due rette s'intersecano non può essere che a due a due giacciano su piani distinti.
Indi ciò, penso che tu abbia voluto scrivere "stella di rette", o comunque è più semplice con quest'ultima tipologia di stelle
Indi ciò, penso che tu abbia voluto scrivere "stella di rette", o comunque è più semplice con quest'ultima tipologia di stelle
L'esercizio non lo tenevo a portata di mano quando ho scritto il post, ma quando sono andato a rivederlo mi sono accorto dell'incidenza delle rette e che quindi 2 giacevano sullo stesso piano, comunque va bene il ragionamento che ho descritto per risolverlo? Se si mettiamo caso che le rette fossero state come detto all'inizio e cioè non giacciono a due a due sullo stesso piano avrei dovuto trovare le rette che cercavo con le schiere di rette che mi hai descritto all' inizio?
I Risposta: il ragionamento lo reputo adatto allo scopo!
II Risposta: a mia conoscenza avresti dovuto determinare il tipo di quadrica eppoi la quadrica stessa; ma per come mi sembra di capire, essendo l'esame di geometria 1 non ti devi preoccupare di quadriche o sbaglio?
II Risposta: a mia conoscenza avresti dovuto determinare il tipo di quadrica eppoi la quadrica stessa; ma per come mi sembra di capire, essendo l'esame di geometria 1 non ti devi preoccupare di quadriche o sbaglio?
L'esame celo struttura su 4 esercizi: geometria dello spazio, spazi e sottospazi, matrici e infine coniche e quadriche; però gli esercizi su coniche e quadriche ci da solo cose meccaniche del tipo classificare la coniche o calcolarne la forma canonica, per gli altri vuole molta più logica nel risolverli
E' un problema interessante che avevo già visto tempo fa ma poi non avevo risolto. Lo faccio ora così serve anche a me come esercizio.
Quindi, anche se due delle rette di intersecano, facciamo il caso generale di tre rette qualsiasi che a due a due non appartengano allo stesso piano.
Parametrizziamo le 3 rette
$r:{(x=2t_r),(y=3t_r),(z=t_r):}$
$s:{(x=t_s),(y=2t_s+2),(z=2t_s):}$
$q:{(x=4t_q),(y=2t_q),(z=3t_q+1):}$
Prendo il vettore di una retta, es. $\vec r=(2,3,1)$ e prendo una base ortogonale di cui $\vecr$ faccia parte.
Ad es. $(r, (1,0,-2),(6,-5,3))$.
Quindi prendo tutti i piani $\pi$ che contengono la retta r, usando come parametro un angolo $\theta$ e la base ortogonale appena ricavata.
$\pi: (cos \theta+6sin \theta)x+(-5sin\theta)y+(-2cos\theta+3sin\theta)z=0$
Ora trovo $\pi \nn s$
$(cos \theta+6sin \theta)t_s+(-5sin\theta)(2t_s+2)+(-2cos\theta+3sin\theta)2t_s=0$
$t_s=(10sin\theta)/(-3cos \theta+2sin\theta)$
Quindi abbiamo il primo punto:
$P_s:{(x=(10sin\theta)/(-3cos \theta+2sin\theta)),(y=2(10sin\theta)/(-3cos \theta+2sin\theta)+2),(z=2(10sin\theta)/(-3cos \theta+2sin\theta)):}$
Ripeto le operazioni con la retta $q$
Trovo $\pi \nn q$
$(cos \theta+6sin \theta)4t_q+(-5sin\theta)2t_q+(-2cos\theta+3sin\theta)(3t_q+1)=0$
$t_q=(2cos\theta-3sin\theta)/(-2cos \theta+23sin \theta)$
Trovo il secondo punto
$P_q:{(x=4(2cos\theta-3sin\theta)/(-2cos \theta+23sin \theta)),(y=2(2cos\theta-3sin\theta)/(-2cos \theta+23sin \theta)),(z=3(2cos\theta-3sin\theta)/(-2cos \theta+23sin \theta)+1):}$
Ho quindi trovato la mia retta che avrà equazione parametrica (funzione del parametro $\theta$), ad esempio:
$P(\theta)=(Ps-Pq)t+Pq$
Questa retta, al variare di $\theta$ in $[0,2\pi)$, mi da l'equazione di tutte le rette che incidono le tre rette date dal problema.
Non esplicito la formula finale perchè viene una tediosa sequenza di seni e coseni poco significativa.
...fine....credevo peggio... i miei 2cent.....
PS. quando i denominatori si annullano significa che il parametro t va messo a zero e quindi la retta diventa parallela a no degli assi.... più meno....
Quindi, anche se due delle rette di intersecano, facciamo il caso generale di tre rette qualsiasi che a due a due non appartengano allo stesso piano.
Parametrizziamo le 3 rette
$r:{(x=2t_r),(y=3t_r),(z=t_r):}$
$s:{(x=t_s),(y=2t_s+2),(z=2t_s):}$
$q:{(x=4t_q),(y=2t_q),(z=3t_q+1):}$
Prendo il vettore di una retta, es. $\vec r=(2,3,1)$ e prendo una base ortogonale di cui $\vecr$ faccia parte.
Ad es. $(r, (1,0,-2),(6,-5,3))$.
Quindi prendo tutti i piani $\pi$ che contengono la retta r, usando come parametro un angolo $\theta$ e la base ortogonale appena ricavata.
$\pi: (cos \theta+6sin \theta)x+(-5sin\theta)y+(-2cos\theta+3sin\theta)z=0$
Ora trovo $\pi \nn s$
$(cos \theta+6sin \theta)t_s+(-5sin\theta)(2t_s+2)+(-2cos\theta+3sin\theta)2t_s=0$
$t_s=(10sin\theta)/(-3cos \theta+2sin\theta)$
Quindi abbiamo il primo punto:
$P_s:{(x=(10sin\theta)/(-3cos \theta+2sin\theta)),(y=2(10sin\theta)/(-3cos \theta+2sin\theta)+2),(z=2(10sin\theta)/(-3cos \theta+2sin\theta)):}$
Ripeto le operazioni con la retta $q$
Trovo $\pi \nn q$
$(cos \theta+6sin \theta)4t_q+(-5sin\theta)2t_q+(-2cos\theta+3sin\theta)(3t_q+1)=0$
$t_q=(2cos\theta-3sin\theta)/(-2cos \theta+23sin \theta)$
Trovo il secondo punto
$P_q:{(x=4(2cos\theta-3sin\theta)/(-2cos \theta+23sin \theta)),(y=2(2cos\theta-3sin\theta)/(-2cos \theta+23sin \theta)),(z=3(2cos\theta-3sin\theta)/(-2cos \theta+23sin \theta)+1):}$
Ho quindi trovato la mia retta che avrà equazione parametrica (funzione del parametro $\theta$), ad esempio:
$P(\theta)=(Ps-Pq)t+Pq$
Questa retta, al variare di $\theta$ in $[0,2\pi)$, mi da l'equazione di tutte le rette che incidono le tre rette date dal problema.
Non esplicito la formula finale perchè viene una tediosa sequenza di seni e coseni poco significativa.
...fine....credevo peggio... i miei 2cent.....
PS. quando i denominatori si annullano significa che il parametro t va messo a zero e quindi la retta diventa parallela a no degli assi.... più meno....
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