Determinare Sottospazio dei punti fissi Di endomorfismo
Salve a tutti,
continuo ad avere problemi riguardo questo esercizio:
Spazi Euclidei. Si consideri lo spazio vettoriale $ R^3 $ con la struttura euclidea standard e
l’endomorfismo $ f: R^3 -> R^3 $ definito da:
$ f(x, y, z) = (x/3 + sqrt6 /3 y - sqrt2 /3 z, sqrt6 /3 x + sqrt3 /3 z, - sqrt2 /3 x +sqrt3 /3 y +2/3 z) $
A) Provare che $ f $ è un' isometria
B) Determinare il sottospazio $ U $ dei punti fissi di $ f $ ed interpretare $ f $ geometricamente
C)Determinare $ U^\bot $
Ora, il punto A è banale e non ho problemi ad affrontarlo.
Per i punti B e C invece continuo a non capire il metodo risolutivo.
Cercando su internet ho trovato che per trovare il sottospazio U è necessario risolvere il sistema:
$ A-I * |(x), (y), (z)| $ con $A= $ matrice associata all'endomorfismo $ f $ e $ I=$ matrice identità
Ma una volta impostato, non riesco a capire come trovare la soluzione.
Per il punto C invece dovrei applicare una formula basandomi sui vettori che vanno a definire il sottospazio U (che, non riuscendo a trovare, mi impedisce di proseguire).
Vorrei per piacere qualche chiarimento, anche di definizione riguardo punti fissi e, se possibile, un esempio di risoluzione partendo dai dati dell'esercizio che ho pubblicato.
Grazie per il tempo.
continuo ad avere problemi riguardo questo esercizio:
Spazi Euclidei. Si consideri lo spazio vettoriale $ R^3 $ con la struttura euclidea standard e
l’endomorfismo $ f: R^3 -> R^3 $ definito da:
$ f(x, y, z) = (x/3 + sqrt6 /3 y - sqrt2 /3 z, sqrt6 /3 x + sqrt3 /3 z, - sqrt2 /3 x +sqrt3 /3 y +2/3 z) $
A) Provare che $ f $ è un' isometria
B) Determinare il sottospazio $ U $ dei punti fissi di $ f $ ed interpretare $ f $ geometricamente
C)Determinare $ U^\bot $
Ora, il punto A è banale e non ho problemi ad affrontarlo.
Per i punti B e C invece continuo a non capire il metodo risolutivo.
Cercando su internet ho trovato che per trovare il sottospazio U è necessario risolvere il sistema:
$ A-I * |(x), (y), (z)| $ con $A= $ matrice associata all'endomorfismo $ f $ e $ I=$ matrice identità
Ma una volta impostato, non riesco a capire come trovare la soluzione.
Per il punto C invece dovrei applicare una formula basandomi sui vettori che vanno a definire il sottospazio U (che, non riuscendo a trovare, mi impedisce di proseguire).
Vorrei per piacere qualche chiarimento, anche di definizione riguardo punti fissi e, se possibile, un esempio di risoluzione partendo dai dati dell'esercizio che ho pubblicato.
Grazie per il tempo.
Risposte
Un punto fisso è un $(x_0,y_0,z_0)$ t.c. $f(x_0,y_0,z_0)=(x_0,y_0,z_0)$.
Quindi ti basta uguagliare componente per componente, cioè risolvere il sistema:
${(x_0=frac{x_0}{3}+frac{sqrt(6)y_0}{3}-frac{sqrt(2)*z_0}{3}),(etc...),(etc...):}$
Quindi ti basta uguagliare componente per componente, cioè risolvere il sistema:
${(x_0=frac{x_0}{3}+frac{sqrt(6)y_0}{3}-frac{sqrt(2)*z_0}{3}),(etc...),(etc...):}$
Chiaro, quindi non serve sottrarre la matrice identità alla matrice associata?
È equivalente
Detta informalmente :
Tu cerchi quei punti x t.c. la tua matrice A si comporti Com l'identità, cioè li mandi in sé stessi.
Quindi cerchi x tc $Ax=Ix $. Portando a primo membro $(A-I)x=0$. Quindi $x $ è nel nucleo di A-I
Tu cerchi quei punti x t.c. la tua matrice A si comporti Com l'identità, cioè li mandi in sé stessi.
Quindi cerchi x tc $Ax=Ix $. Portando a primo membro $(A-I)x=0$. Quindi $x $ è nel nucleo di A-I
La teoria è chiara, ma svolgendo i conti non riesco ancora a riconoscere la soluzione del sistema...
Potresti risolvere il sistema dell'esercizio in modo da poter vedere quando devo fermarmi e quali sono gli elementi che appartengono alla soluzione? Te ne sarei grato...
Potresti risolvere il sistema dell'esercizio in modo da poter vedere quando devo fermarmi e quali sono gli elementi che appartengono alla soluzione? Te ne sarei grato...
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