Determinare sottodpazio

[Marshal87]

Ciao a tutti,
ho un esercizio che mi mette parecchi dubbi:
dati $A_1= (1,1,1,1,1), A_2=(1,0,1,0,1), A_3 = (0,1,1,0,0), A_4=(1,1,0,1,0), A_5 = (1,1,3,0,2)$
determinare il sottospazio $W= L({A_1,A_2,A_3,A_4,A_5})$ e si scriva una base di W contenuta nell'insieme ${A_1,A_2,A_3,A_4,A_5}$

Io ho visto che ${A_1,A_2,A_3,A_4}$ sono indipendenti tra di loro, ma questo mica mi dice che sono già una base? non dovrebbero essere ancora un sistema di generatori?
Inoltre, cosa si intende per "determinare il sottospazio W" ? Non sappiamo già che è dato da quel sistema di generatori, cosa ci serve in più?

Grazie mille

[misanino]

"Marshal87":Ciao a tutti,
ho un esercizio che mi mette parecchi dubbi:
dati $A_1= (1,1,1,1,1), A_2=(1,0,1,0,1), A_3 = (0,1,1,0,0), A_4=(1,1,0,1,0), A_5 = (1,1,3,0,2)$
determinare il sottospazio $W= L({A_1,A_2,A_3,A_4,A_5})$ e si scriva una base di W contenuta nell'insieme ${A_1,A_2,A_3,A_4,A_5}$

Io ho visto che ${A_1,A_2,A_3,A_4}$ sono indipendenti tra di loro, ma questo mica mi dice che sono già una base? non dovrebbero essere ancora un sistema di generatori?
Inoltre, cosa si intende per "determinare il sottospazio W" ? Non sappiamo già che è dato da quel sistema di generatori, cosa ci serve in più?

Grazie mille

Dando per buoni i tuoi calcoli (che non ho controllato):
${A_1,A_2,A_3,A_4}$ sono indipendenti tra di loro. Allora sono una base di W se $A_5$ si puo' scrivere come combinazione lineare di essi.
In tal caso allora W sara' lo spazio vettoriale delle combinazioni lineari dei tuoi 4 elementi della base,
In questo senso si chiede di determinare W, cioe' di scriverlo come spazio di queste combinazioni lineari.
Ad esempio se sei in $RR^3$ e hai la base $v_1=(1,2,0)$ e $v_2=(0,1,1)$ allora lo spazio V generato da $v_1,v_2$ e' dato da:
$alpha v_1+beta v_2=(alpha,2alpha,0)+(0,beta,beta)=(alpha,2alpha+beta,beta)$ con $alpha,beta\in RR$

[Marshal87]

"misanino":
Dando per buoni i tuoi calcoli (che non ho controllato):
${A_1,A_2,A_3,A_4}$ sono indipendenti tra di loro. Allora sono una base di W se $A_5$ si puo' scrivere come combinazione lineare di essi.
In tal caso allora W sara' lo spazio vettoriale delle combinazioni lineari dei tuoi 4 elementi della base,
In questo senso si chiede di determinare W, cioe' di scriverlo come spazio di queste combinazioni lineari.
Ad esempio se sei in $RR^3$ e hai la base $v_1=(1,2,0)$ e $v_2=(0,1,1)$ allora lo spazio V generato da $v_1,v_2$ e' dato da:
$alpha v_1+beta v_2=(alpha,2alpha,0)+(0,beta,beta)=(alpha,2alpha+beta,beta)$ con $alpha,beta\in RR$

Grazie mille, come sepre
Allora vediamo se ho capito, con quest'altro esercizio (che ho risolto già come hai suggerito)
Si consideri il sottospazio $H = L(1,-1,2,1),(0,2,1,-1),(1,1,3,0),(2,0,0,1)$ determinare una base di H. Inoltre il vettore $(1,0,0,0)$ appartiene ad H?

Allora, io ho visto che il vettore $(1,1,3,0)$ si può scrivere come combinazione lineare degli altri. Ho quindi che ${(1,-1,2,1),(0,2,1,-1),(2,0,0,1)}$ è una base.
Adesso per verificare che $(1,0,0,0)$ appartiene ad H ho semplicemente verificato se esistono degli scalari tali da far risultare il vettore $(1,0,0,0)$ una combinazione lineare della base
Praticamente ho visto che il sistema
$(1,0,0,0)= h1(1,-1,2,1)+h2(0,2,1,-1)+h3(2,0,0,1)$ non ammette soluzioni.
Questo mi basta per dire che $(1,0,0,0)$ non appartiene ad H giusto?

Grazie mille!

[misanino]

Come al solito rispondo a meno dei calcoli.
Il procedimento è giustissimo. Bene