Determinare se un'applicazione è lineare?????

[lattore]

sia f: $ R^4->R^4 $
$ f(x,y,z,t)=(hx,(h-2)z,(h-1)t^2,0) $ stabilire per quali valori di h l'applicazione è lineare... mi dareste una mano a risolvere questo esercizio? sto avendo difficoltà..

[Gi81]

"unassoluto": Stabilire per quali valori di $h$ l'applicazione
$f: RR^4 -> RR^4$ definita da $ f(x,y,z,t)=(hx,(h-2)z,(h-1)t^2,0)$ è lineare.

Il "trucco" è notare che c'è $t^2$, che stona un po' con la linearità. Sfruttiamo questa cosa:
Per essere lineare deve valere, tra le tante cose, anche $f(0,0,0,2)+f(0,0,0,3)= f( (0,0,0,2)+(0,0,0,3))$

Ma $f(0,0,0,2)+f(0,0,0,3)= (0,0, 4(h-1),0)+(0,0,9(h-1),0)= (0,0,13(h-1),0)$,
e $ f( (0,0,0,2)+(0,0,0,3))=f(0,0,0,5) = (0,0,25(h-1),0)$.

Quindi deve valere $13(h-1) = 25(h-1)$, cioè...

[lattore]

da dove hai preso f(0,0,0,2) e f(0,0,0,3)? e perchè non c'è nessuna delle equazioni indicate?

[Gi81]

"unassoluto":da dove hai preso f(0,0,0,2) e f(0,0,0,3)?

Ho preso due vettori che abbiano non nulla solo la componente $t$.

"unassoluto": perché non c'è nessuna delle equazioni indicate?

Spiegati meglio.

[Dante.utopia]

Più in generale,

se $\lamda f(x)+ \mu f(y) = f(\lambda x + \mu y)$ per ogni x e y nell'insieme di definizione di f, e per ogni $\lambda, \mu \in mathbb{R}$
allora f è lineare.

La scelta di @Gi8 equivale a $\lambda=\mu=1$,
$x=(0,0,0,2)$ e $y=(0,0,0,3)$.

sufficiente a dimostrare che f non è lineare per ogni valore di h.

[Gi81]

"Dante.utopia":...sufficiente a dimostrare che f non è lineare per ogni valore di h.

Non proprio per ogni valore di $h$.
Se $h=1$ l'applicazione diventa $f(x,y,z,t)= (x,-z,0,0)$, che (se non sbaglio) è un'applicazione lineare.

[Dante.utopia]

si, naturalmente!