Determinare se una curva è un'elica

[Injo]

Ho svolto quest'esercizio ma non sono molto convinto della sua correttezza. Devo verificare che [tex]g(u)=(u,u^2,\frac{2}{3}u^3)[/tex] sia un'elica.

Ho calcolato allora [tex]t(u)=\frac{g'(u)}{|g'(u)|}=\frac{1}{1+2u^2}(1,2u,2u^2)[/tex] e [tex]n(u)=\frac{g^{(2)}(u)}{|g^{(2)}(u)|}=\frac{1}{2\sqrt{1+u^2}}(0,2,4u)[/tex]. Ho quindi considerato un versore costante [tex]v=(a,b,c)[/tex] ed ho imposto [tex]\forall u \in I[/tex] l'ortogonalità tra [tex]n(u)[/tex] e [tex]v[/tex]. Ovvero: [tex]0==<\frac{1}{2\sqrt{1+u^2}}(0,2,4u),(a,b,c)>=\frac{b+2cu}{\sqrt{1+u^2}} \rightarrow b=c=0[/tex]. Dunque esiste un versore costante (nello specifico [tex]v=(1,0,0)[/tex]) sempre ortogonale al versore normale e questa è condizione necessaria e sufficiente affinchè [tex]g(u)[/tex] sia un'elica (di asse la retta di direzione [tex]v[/tex]).

Sapreste dirmi se è corretto?

[j18eos]

Imponendo che sia [tex]u\neq0[/tex] basterebbe che sia [tex]c=\frac{-b}{2u}[/tex] ed avresti un'infinità di versori costanti ed ortogonali alla normale della curva considerata in ogni punto distinto da [tex](0;0;0)[/tex]! Ma in [tex](0;0;0)[/tex] avresti solo quello descritto da te.

Quindi può essere un'elica!? (Affermazione con dubbio.)

[Injo]

Ma i versori [tex](a,b,\frac{-b}{2u})[/tex] non sarebbero costanti in quanto dipendenti da [tex]u[/tex] e quindi diversi in ogni punto.

[j18eos]

Per l'appunto ho detto che vabbene solo il tuo versore e bisogna escludere quelli che ho trovati io altrimenti lasceresti dei buchi!

[poncelet]

Se non ricordo male una curva è un'elica se il rapporto tra curvatura e torsione è costante. Provo a fare i calcoli:

Curvatura:

$ k(u)=\frac{|g'(u) xx g''(u)}{|g'(u)|}=\frac{2+4u^2}{(1+2u^2)^3}=\frac{2}{(1+2u^2)^2} $

Torsione:

$ tau(u)=\frac{g'(u) xx g''(u)*g'''(u)}{|g'(u) xx g''(u)|^2}=\frac{8}{4(1+2u^2)^2}=\frac{2}{(1+2u^2)^2} $

Quindi curvatura e torsione sono uguali e di conseguenza il loro rapporto è costante uguale a 1 e la curva è un'elica

[Injo]

Grazie mille.