Determinare se un piano e' o meno parallelo ad una retta.
Buona sera a tutti ragazzi. E' tutto il pomeriggio che mi sto scervellando su una cosa apparentemente semplicissima, eppure che mi sta facendo impazzire! A breve ho un esame e mi sento sconfortata al pensiero di non riuscire a capire perchè non mi viene questo esercizio. Comunque spero che mi possiate aiutare:
Ho un'equazione del piano x + y - z = 0 e devo vedere questo piano è parallelo alla retta 2X = Y - Z = 3
Vi dico come ho provato a procedere: ho trasformato l'equazione della retta in forma parametrica, ma già qua ho avuto qualche dubbio nello stabilire i parametri e non so neanche io perche'! Aiutatemi grazie perche' mi sta fumando il cervello.
Ho un'equazione del piano x + y - z = 0 e devo vedere questo piano è parallelo alla retta 2X = Y - Z = 3
Vi dico come ho provato a procedere: ho trasformato l'equazione della retta in forma parametrica, ma già qua ho avuto qualche dubbio nello stabilire i parametri e non so neanche io perche'! Aiutatemi grazie perche' mi sta fumando il cervello.
Risposte
Mostraci i passaggi che hai fatto, così possiamo capire dov' è il problema.
Comunque dopo aver ricavato le coordinate del vettore di direzione della retta, fai il prodotto scalare tra il vettore normale al piano e il vettore di direzione della retta.
Se il piano è parallelo alla retta, cosa otterrai dal prodotto scalare?
Comunque dopo aver ricavato le coordinate del vettore di direzione della retta, fai il prodotto scalare tra il vettore normale al piano e il vettore di direzione della retta.
Se il piano è parallelo alla retta, cosa otterrai dal prodotto scalare?
Allora io ho posto a sistema 2x = 3 e y - z = 3 dopo di questo ho posto y = t e z di conseguenza mi veniva z = t - 3 ma a questo punto non riuscivo a parametrizzare x! Comunque il prodotto affinche' siano paralleli non dovrebbe essere uguale a 0? E' proprio qua il problema, a me esce diverso da zero! Aiutami tu per cortesia grazie mille
Il prodotto scalre è nullo se i vettori sono ortogonali. Il prodotto vettoriale si annulla nel caso in cui i vettori siano paralleli.
Comunque il metodo più semplice è il seguente:
Risolvi il sistema omogeneo associato alla retta cioè :
$\{(2x=0),(y-z=0):}$
Così ottieni la direzione della retta.
Io ho trovato <(0,1,1)>
Per la direzione del piano ho trovato <(0,1,1),(2,1,-1)>
Quindi poichè la direzione della retta è contenuta nel piano la retta e il piano sono paralleli.
Comunque il metodo più semplice è il seguente:
Risolvi il sistema omogeneo associato alla retta cioè :
$\{(2x=0),(y-z=0):}$
Così ottieni la direzione della retta.
Io ho trovato <(0,1,1)>
Per la direzione del piano ho trovato <(0,1,1),(2,1,-1)>
Quindi poichè la direzione della retta è contenuta nel piano la retta e il piano sono paralleli.
"Soxyna":
Comunque il prodotto affinche' siano paralleli non dovrebbe essere uguale a 0?
Se ti riferisci al parallelismo tra piano e retta è esatto
Si... non avevo letto che avevi scritto che il prodotto era tra il vettore NORMALE e il vettore direzione della retta. Pensavo tra le due direzioni.
ancora un paio di cosette, scusate se mi vorreste decapitare ma... mi siete di grande aiuto e vi ringrazio immensamente:
Se io faccio il prodotto scalare tra la direzione del piano e la direzione della retta, e mi viene uguale a 0 vuol dire che sono paralleli? perchè poi ho provato a fare il prodotto vettoriale cn la direzione del piano e quella della retta e mi viene diverso da zero. (Cioè mi rimangono le componenti x, y e z) E se mettiamo io volessi verificare se un piano è o meno parallelo ad un altro piano devo fare il prodotto vettoriale tra le direzioni rispettive dei piani? E se in ultimo caso volessi vedere se una retta appartiene ad un piano devo per forza fare i fasci di piani?
Se io faccio il prodotto scalare tra la direzione del piano e la direzione della retta, e mi viene uguale a 0 vuol dire che sono paralleli? perchè poi ho provato a fare il prodotto vettoriale cn la direzione del piano e quella della retta e mi viene diverso da zero. (Cioè mi rimangono le componenti x, y e z) E se mettiamo io volessi verificare se un piano è o meno parallelo ad un altro piano devo fare il prodotto vettoriale tra le direzioni rispettive dei piani? E se in ultimo caso volessi vedere se una retta appartiene ad un piano devo per forza fare i fasci di piani?
"Soxyna":
ancora un paio di cosette, scusate se mi vorreste decapitare ma... mi siete di grande aiuto e vi ringrazio immensamente:
Se io faccio il prodotto scalare tra la direzione del piano e la direzione della retta, e mi viene uguale a 0 vuol dire che sono paralleli?
Non puoi fare il prodotto scalare tra la direzione del piano e il vettore di direzione della retta. Forse ti riferivi al vettore normale al piano? Attenta a non fare confusione, perchè la direzione è rappresentata da due vettori linearmente indipendenti che sono ortogonali al vettore normale dello stesso piano.
"Soxyna":
E se mettiamo io volessi verificare se un piano è o meno parallelo ad un altro piano devo fare il prodotto vettoriale tra le direzioni rispettive dei piani?
Senza considerare le direzioni, immagina di avere due piani [tex]\delta_1[/tex] e [tex]\delta_2[/tex], che hanno vettori normali rispettivamente [tex]n_1[/tex] e [tex]n_2[/tex]. Come devono essere tra loro questi due vettori?
"Soxyna":
E se in ultimo caso volessi vedere se una retta appartiene ad un piano devo per forza fare i fasci di piani?
Non c' è bisogno di considerare il fascio, hai provato a ragionarci?
Se ti rispondessi SI ci ho ragionato mentirei spudoratamente... a me è venuto subito in mente il fascio di piani e così mi sono concentrata su quello... se no a che ti riferivi? che magari, anzi sicuro, è molto più sbrigativo il tuo ragionamento! Hai ragione nel primo punto, non posso fare il prodotto scalare! Per un momento ho considerato come se fossero due rette e non una retta e un piano; se non mi sbaglio per vedere se due rette sono ortogonali mi basta fare il prodotto scalare tra il vettore direzione e i coefficienti della retta. In qualunque cosa io sbagli dimmelo senza esitare, sai ho l'esame a breve e... non so perchè le cose più complesse mi vengono e mi perdo in certe stupidate
Mi riferivo a questo: supponi che la retta è data dall' intersezione dei piani [tex]\delta_1[/tex] e [tex]\delta_2[/tex], e devi verificare che appartiene al piano [tex]\pi[/tex]. Allora se l' equazione del piano [tex]\pi[/tex] è proporzionale a [tex]\delta_1[/tex] o [tex]\delta_2[/tex], la retta è contenuta da [tex]\pi[/tex]. Ma può capitare anche che sia una combinazione dei due piani cioè nella forma
[tex]\lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d)=0[/tex]
Cosa intendi per 'coefficienti della retta'?
Comunque devi fare il prodotto scalare tra i rispettivi vettori di direzione
eheh! Non ti preoccupare, non capitano solo a te queste cose
[tex]\lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d)=0[/tex]
"Soxyna":
Per un momento ho considerato come se fossero due rette e non una retta e un piano; se non mi sbaglio per vedere se due rette sono ortogonali mi basta fare il prodotto scalare tra il vettore direzione e i coefficienti della retta.
Cosa intendi per 'coefficienti della retta'?
Comunque devi fare il prodotto scalare tra i rispettivi vettori di direzione
"Soxyna":
non so perchè le cose più complesse mi vengono e mi perdo in certe stupidate
eheh! Non ti preoccupare, non capitano solo a te queste cose
"matteotass":
Per la direzione del piano ho trovato <(0,1,1),(2,1,-1)>
in che modo si può parlare di direzione del piano? direzione del piano in funzione alla direzione di una retta?
Per direzione (o giacitura) del piano si intende il sottospazio vettoriale che può essere individuato se si conoscono
le coordinate di 3 punti (non allineati) del piano in questione.
le coordinate di 3 punti (non allineati) del piano in questione.
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