Determinare se un applicazione è lineare.

[Argentino1]

Salve, sto facendo il Corso di Analisi I e dovrei riuscire a svolgere il seguente esercizio:
1)$ f:RR^3->RR^3 f(x, y, z)=(xy, z, y) $
2)$ f:RR^2->RR^4 f(x, y)=(x, log(x^2 + y^2 +1), x-2y, e^x) $
3)$ f:RR^5->RR f(x, y, z, w, k)=z-3x-4y-5w-2k $
Purtroppo non ho ben capito cosa significhi applicazione lineare...
In ogni caso volevo sapere se potreste farmi un esempio di come si risolve uno dei tre, in modo da poi poter provare a scrivere qui gli altri due per vedere se ho capito. Ringrazio anticipatamente per la disponibilità.

[_prime_number]

Devi dimostrare che valgolo le proprietà della definizione (valla a rivedere).
Prendiamo la 1).
Siano $v=(x,y,z), w=(x',y',z')$ due vettori qualsiasi di $\mathbb{R}^3$. Vediamo se $f(v+w)=f(v)+f(w)$.
Per definizione di $f$ si ha
$f(v+w)=f(x+x',y+y',z+z')=( (x+x')(y+y'), z+z',y+y')=(xy + x' y+x y' + x' y' , z+z',y+y')$
mentre $f(v) + f(w) = (xy,z,y) + (x' y' , z', y')=(xy+x' y',z+z', y+y')$
Dunque l'applicazione non è lineare.

Paola

[bluuz]

Ciao, è la prima volta che scrivo quindi non so usare le formule, scusate. comunque io ho un esercizio simile, devo determinare se la seguente applicazione è lineare o meno:
T: R2 --> R3 definita da T(x,y) = (x-y, x+y+1, 0)
facendo i passaggi come sopra e avendo v(x-y, x+y+1, 0) u(x'-y', x'+y'+1, 0) mi viene che
t(v+u) = ((x+x')-(y+y'), (x+x')+(y+y')+2, 0) ...giusto? quindi in questo caso non è lineare a causa di quel 2? oppure ho sbagliato? grazie in anticipo =)..

[bluuz]

"prime_number":Per definizione di f si ha
f(v+w)=f(x+x′,y+y′,z+z′)=((x+x′)(y+y′),z+z′,y+y′)=(xy+x′y+xy′+x′y′,z+z′,y+y′)
mentre f(v)+f(w)=(xy,z,y)+(x′y′,z′,y′)=(xy+x′y′,z+z′,y+y′)
Dunque l'applicazione non è lineare.

Ciao, è la prima volta che scrivo quindi non so usare le formule, scusate. comunque io ho un esercizio simile, devo determinare se la seguente applicazione è lineare o meno:
T: R2 --> R3 definita da T(x,y) = (x-y, x+y+1, 0)
facendo i passaggi come sopra e avendo v(x-y, x+y+1, 0) u(x'-y', x'+y'+1, 0) mi viene che
t(v+u) = ((x+x')-(y+y'), (x+x')+(y+y')+2, 0) ...giusto? quindi in questo caso non è lineare a causa di quel 2? oppure ho sbagliato? grazie in anticipo =)..