Determinare se l'insieme dato è l.i. e s determini una base
ciao a tutti!
sto facendo questo esercizio, e nonostante io sia conscio che sia una cavolata immane mi sono saliti dei dubbi che mi hanno bloccato. ecco qui il testo:
Sia $ V = C^0 ( [ 0 , 1 ] ) $ lo spazio vettoriale reale delle funzioni continue su $ [ 0 , 1 ] $.
i) si dica se l'insieme $ { 1 , sin(pix) } $ è linearmente indipendente o dipendente e si determini una base del sottospazio generato.
ii) si definisca su $ V $ il prodotto scalare $ ( u , v ) = int_(0)^(x) u(x)*v(x) dx $ . Si determini il trasposto dell'endomorfismo $ T : V rarr V , T(u)(x) = int_(0)^(x) v(t) dt $ e si stabilisca se $ T $ è simmetrico.
allora, nel i) per stabilire se è l.i. ho fatto così: $ alpha + betasin(pix) = 0 $
se $ x = 0 rarr alpha = 0 rArr betasin(pix) = 0 rArr beta = 0 $
se $ x = 1 $ stessa cosa, $ alpha , beta = 0 $ quindi è l.i.
ora, per trovare la base del sottospazio mi blocco, forse perchè penso di non saperla ricavare o perche lo faccio nel modo sbagliato, sta di fatto che penso che sia $ ( ( 0 ),( 1 ) ) $ ma non sono sicuro di niente.
il punto ii) non l'ho ancora svolto, ma se qualcuno avesse lo sbatti di rispondere pure a quello mi farebbe una grande cortesia e prometto che lo terrò solo per correggere quello che avrò fatto.
ringrazio tutti per la disponibilità!
sto facendo questo esercizio, e nonostante io sia conscio che sia una cavolata immane mi sono saliti dei dubbi che mi hanno bloccato. ecco qui il testo:
Sia $ V = C^0 ( [ 0 , 1 ] ) $ lo spazio vettoriale reale delle funzioni continue su $ [ 0 , 1 ] $.
i) si dica se l'insieme $ { 1 , sin(pix) } $ è linearmente indipendente o dipendente e si determini una base del sottospazio generato.
ii) si definisca su $ V $ il prodotto scalare $ ( u , v ) = int_(0)^(x) u(x)*v(x) dx $ . Si determini il trasposto dell'endomorfismo $ T : V rarr V , T(u)(x) = int_(0)^(x) v(t) dt $ e si stabilisca se $ T $ è simmetrico.
allora, nel i) per stabilire se è l.i. ho fatto così: $ alpha + betasin(pix) = 0 $
se $ x = 0 rarr alpha = 0 rArr betasin(pix) = 0 rArr beta = 0 $
se $ x = 1 $ stessa cosa, $ alpha , beta = 0 $ quindi è l.i.
ora, per trovare la base del sottospazio mi blocco, forse perchè penso di non saperla ricavare o perche lo faccio nel modo sbagliato, sta di fatto che penso che sia $ ( ( 0 ),( 1 ) ) $ ma non sono sicuro di niente.
il punto ii) non l'ho ancora svolto, ma se qualcuno avesse lo sbatti di rispondere pure a quello mi farebbe una grande cortesia e prometto che lo terrò solo per correggere quello che avrò fatto.
ringrazio tutti per la disponibilità!
Risposte
Il sottospazio generato è
$$W=\alpha+\beta\sin(\pi x),\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R}$$
e visto che le funzioni sono l.i., mi pare ovvio che siano loro a formare la base. E' analogo allo spazio di polinomi di grado al più $k$, dove la base è data da $\{1,x,\ldots, x^k\}$. Ovviamente da un punto di vista "vettoriale" i vettori che rappresentano le funzioni sono $1=(1,0),\ \sin(\pi x)=(0,1)$.
$$W=\alpha+\beta\sin(\pi x),\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{R}$$
e visto che le funzioni sono l.i., mi pare ovvio che siano loro a formare la base. E' analogo allo spazio di polinomi di grado al più $k$, dove la base è data da $\{1,x,\ldots, x^k\}$. Ovviamente da un punto di vista "vettoriale" i vettori che rappresentano le funzioni sono $1=(1,0),\ \sin(\pi x)=(0,1)$.
grazie ciampax!
nessuna idea per la seconda parte?
nessuna idea per la seconda parte?
In realtà sul secondo c'è qualcosa che non mi torna. Ti spiego: tu definisci $T(u)(v)$, ma io non vedo dipendenza da $u$. Tra l'altro, per come hai scritto, sembrerebbe che $T(u)\in V$, ma allora come si applica a $v$?
hai ragione ho controllato e avevo commesso un errore di trascrizione! è $ T (v)(x) $ anzichè $ T(v)(u) $
Bene. Allora mi pare che, per prima cosa, tu possa scrivere
$$T(v)(x)=(1,v)$$
usando il prodotto scalare visto sopra. Ora, secondo me ti chiede di determinare tale endomorfismo ristretto allo spazio generato dalle funzioni precedenti, altrimenti la matrice che rappresenta tale endomorfismo su tutto $V$ risulta di ordine infinito visto che $V$ stesso ha dimensione infinita. Altre info?
$$T(v)(x)=(1,v)$$
usando il prodotto scalare visto sopra. Ora, secondo me ti chiede di determinare tale endomorfismo ristretto allo spazio generato dalle funzioni precedenti, altrimenti la matrice che rappresenta tale endomorfismo su tutto $V$ risulta di ordine infinito visto che $V$ stesso ha dimensione infinita. Altre info?
non ho capito il tuo ultimo messaggio...
alla domanda definisci il prodotto scalare $ (u,v)=..... $ devo rispondere così: $ T(u)(v)=(1,v) $ ? perchè non ho capito appunto sta cosa. e per determinare il trasposto dell'endomorfismo? devo prima trovare la matrice di rappresentazione giusto? e l'ultima cosa, un prodotto scalare simmetrico è tale se rispetta la prop. $ (u,v)=(v,u) $ giusto? come faccio a dimostrarlo con T?
alla domanda definisci il prodotto scalare $ (u,v)=..... $ devo rispondere così: $ T(u)(v)=(1,v) $ ? perchè non ho capito appunto sta cosa. e per determinare il trasposto dell'endomorfismo? devo prima trovare la matrice di rappresentazione giusto? e l'ultima cosa, un prodotto scalare simmetrico è tale se rispetta la prop. $ (u,v)=(v,u) $ giusto? come faccio a dimostrarlo con T?
Allora, calma, andiamo con ordine. Quello che dicevo è che, data la definizione di $T$ e data la definizione del prodotto scalare, allora possiamo riscrivere $T$ al modo seguente $T(v)(x)=(1,v)$, cioè vederlo come il prodotto scalare tra la generica $v\in V$ e la funzione $1\in V$. Ora, il problema nello scrivere come è fatto $T$ sta nella scelta di una base per $V$, che ha dimensione infinita. Per cui mettersi a scegliere una base $B=\{e_i\}_{i\in NN}$ (infinita) e poi calcolare $T(e_i)$ per scriverlo come combinazione lineare non è proprio la cosa più semplice. Per vedere se l'endomorfismo è simmetrico, dovresti dimostrare che per ogni $u, v\in V$ si abbia $(T(u),v)=(u,T(v))$, che, volendo, può riscriversi come
$$\int_0^x\left(\int_0^t u(s)\ ds\right)\ v(t)\ dt=\int_0^x u(t)\left(\int_0^t v(s)\ ds\right)\ dt$$
che non mi sembra, ad occhio, proprio facile facile.
Ecco perché ti chiedevo se avessi altre informazioni. Sicuro che la traccia sia scritta così? L'esercizio è di Analisi Fnzionale (piuttosto che di algebra)?
$$\int_0^x\left(\int_0^t u(s)\ ds\right)\ v(t)\ dt=\int_0^x u(t)\left(\int_0^t v(s)\ ds\right)\ dt$$
che non mi sembra, ad occhio, proprio facile facile.
Ecco perché ti chiedevo se avessi altre informazioni. Sicuro che la traccia sia scritta così? L'esercizio è di Analisi Fnzionale (piuttosto che di algebra)?
allora questo esame da me (scienze dei materiali in Bicocca-Milano) si chiama algebra lineare, poi lascio a voi ogni qualsiasi altra definizione. da come avrai notato dal mio stato la prof è stata una cagna assurda. i suoi esercizi hanno sempre un barbatrucco, un cavillo, un teorema che se lo sai ti fa svolgere l'esercizio in trenta secondi, in più sul foglio dell'esame abbiamo uno spazio limitato per le risposte e lo spazio in questi due esercizi sono abbastanza ristretti, indice che con pochi passaggi (fondamentali) te la cavi. l'esercizio è stato trascritto in modo corretto e se vuoi ti mando il pdf in pvt o mail, ma a questo punto mi sembra di approfittare troppo del tuo buon cuore!!
Ok, credo di aver capito dove sta l'inghippo ma devo vedere di scrivere meglio tutta questa cosa. Lo faccio domani a mente lucida perché adesso non connetto più.
grazie mille!!!!!!!!
Allora, riscriviamo per bene tutto. Il prodotto scalare è definito così:
$$(u,v)=\int_0^1 u(t)\cdot v(t)\ dt$$
(avevi sbagliato a scriverlo ed è chiaro che questa sia la giusta definizione, visto che deve essere definito su tutto $[0,1]$). L'operatore fornito invece è la "funzione integrale" della funzione $v\in C^0([0,1])$,cioè
$$T(v)(x)=\int_0^x v(t)\ dt$$
Osserva che, vista la continuità di $v$, il Teorema di Torricelli-Barrow (calcolo integrale) afferma che tale funzione è derivabile e si ha $T(v)'(x)=v(x)$. Osserva pure che $T(v)(0)=0$.
Ora, l'operatore trasposto è quello che io, normalmente, chiamo aggiunto (ecco perché la cosa non mi tornava): cioè l'unico operatore $G$ tale che
$$(T(u),v)=(u,G(v))$$
Osserva che $T$ risulta simmetrico se e solo se $G=T$. Calcoliamo allora tale trasposto:per quanto detto poco sopra riguardo a $T$ posso scrivere
$$(u,G(v))=(T(u),v)=\int_0^1 T(u)(t)\cdot v(t)\ dt=\int_0^1 T(u)(t)\cdot T(v)'(t)\ dt=$$
integrando per parti
$$=\left[T(u)(t)\cdot T(v)(t)\right]_0^1-\int_0^1 T(u)'(t)\cdot T(v)(t)\ dt=T(u)(1)\cdot T(v)(1)-\int_0^1 u(t)\cdot T(v)(t)\ dt=$$
osservando che $T(v)(1)$ è una costante
$$=\int_0^1 u(t)\cdot T(v)(1)\ dt-\int_0^1 u(t)\cdot T(v)(t)\ dt=\int_0^1 u(t)\left[T(v)(1)-T(v)(t)\right]\ dt$$
e quindi ritornando al prodotto scalare
$$(u,G(v))=(u,T(v)(1)-T(v))$$
da cui segue
$$G(v)(t)=T(v)(1)-T(v)(t)=\int_0^1 v(s)\ ds-\int_0^t v(s)\ ds=\int_t^1 v(s)\ ds\ne T(v)(t)$$
e pertanto $T$ non è simmetrico.
$$(u,v)=\int_0^1 u(t)\cdot v(t)\ dt$$
(avevi sbagliato a scriverlo ed è chiaro che questa sia la giusta definizione, visto che deve essere definito su tutto $[0,1]$). L'operatore fornito invece è la "funzione integrale" della funzione $v\in C^0([0,1])$,cioè
$$T(v)(x)=\int_0^x v(t)\ dt$$
Osserva che, vista la continuità di $v$, il Teorema di Torricelli-Barrow (calcolo integrale) afferma che tale funzione è derivabile e si ha $T(v)'(x)=v(x)$. Osserva pure che $T(v)(0)=0$.
Ora, l'operatore trasposto è quello che io, normalmente, chiamo aggiunto (ecco perché la cosa non mi tornava): cioè l'unico operatore $G$ tale che
$$(T(u),v)=(u,G(v))$$
Osserva che $T$ risulta simmetrico se e solo se $G=T$. Calcoliamo allora tale trasposto:per quanto detto poco sopra riguardo a $T$ posso scrivere
$$(u,G(v))=(T(u),v)=\int_0^1 T(u)(t)\cdot v(t)\ dt=\int_0^1 T(u)(t)\cdot T(v)'(t)\ dt=$$
integrando per parti
$$=\left[T(u)(t)\cdot T(v)(t)\right]_0^1-\int_0^1 T(u)'(t)\cdot T(v)(t)\ dt=T(u)(1)\cdot T(v)(1)-\int_0^1 u(t)\cdot T(v)(t)\ dt=$$
osservando che $T(v)(1)$ è una costante
$$=\int_0^1 u(t)\cdot T(v)(1)\ dt-\int_0^1 u(t)\cdot T(v)(t)\ dt=\int_0^1 u(t)\left[T(v)(1)-T(v)(t)\right]\ dt$$
e quindi ritornando al prodotto scalare
$$(u,G(v))=(u,T(v)(1)-T(v))$$
da cui segue
$$G(v)(t)=T(v)(1)-T(v)(t)=\int_0^1 v(s)\ ds-\int_0^t v(s)\ ds=\int_t^1 v(s)\ ds\ne T(v)(t)$$
e pertanto $T$ non è simmetrico.
grazie mille ciampax!!! io sinceramente non ci sarei mai arrivato, anche perchè non abbiamo mai fatto esercizi simili in classe!! e non sapevo proprio dove sbattere la testa... sono abbastanza messo male per questo esame.
il fatto che $ T $ non sia simmetrica e che $ V $ abbai dimensioni infinite, preclude l'esistenza di autovettori di $ T $ giusto?
grazie mille ancora....
il fatto che $ T $ non sia simmetrica e che $ V $ abbai dimensioni infinite, preclude l'esistenza di autovettori di $ T $ giusto?
grazie mille ancora....
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