Determinare rette...
salve a tutti...
ho da risolvere un esercizio di cui non riesco neanche a impostarlo...
allora in un sottospazio affine euclideo tridimenzionale devo determinare le rette del piano $ x-y+2z-1=0 $, passanti per $ P(1,0,0) $ che formano un angolo di $ pi/4 $ con l'asse $ y $.
come dovrei procedere???
ho da risolvere un esercizio di cui non riesco neanche a impostarlo...
allora in un sottospazio affine euclideo tridimenzionale devo determinare le rette del piano $ x-y+2z-1=0 $, passanti per $ P(1,0,0) $ che formano un angolo di $ pi/4 $ con l'asse $ y $.
come dovrei procedere???
Risposte
Immagino che il metodo più semplice sia quello di trovare il vettore direzione $d = (d_x, d_y, d_z)$ della retta imponendo l'appartenenza al piano (cioè la perpendicolarità rispetto alla sua normale) e l'angolo di $\pi/4$ con l'asse $y$ (imponendo che il prodotto scalare e il modulo del prodotto vettoriale siano uguali a $cos(\pi/4)$ e $sin(\pi/4)$ e il modulo di $d$ sia uguale a $1$). Dovresti ottenere il vettore $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2, 0)$ se non ho sbagliato i calcoli e la retta essere $P + td$.
ok questa strada l avevo seguito pure io ma in questa maniera ottengo solo una retta e non piu di una... penso che siano 2 le rette da trovare o no???
Perché due? Che cosa te lo fa pensare?
dall' idea che mi sono fatto in base a come sono messi il piano e l'asse penso che siano 2 le rette che formino con y un angolo di 45°...
Per via di come funziona il prodotto vettoriale dovresti forse considerare entrambi gli "ordinamenti" dei due vettori ($d \wedge j$ e $j \wedge d$). Ma a questo punto puoi cercare di risolverlo diversamente cercando l'intersezione tra il piano e il cono dei punti $Q$ tali che $Q - P$ forma un angolo di $\pi/4$ con $(0,1,0)$.
L'equazione del cono dovrebbe essere
$(x - 1)^2 + z^2 = y^2$
per cui il sistema diventerebbe
${(x - y + 2z = 1),((x-1)^2 + z^2 = y^2):}$
Utilizzando Maxima ho ottenuto la seguente soluzione: $(t, t-1, 0) \cup (s, -5(s-1)/3, -4(s-1)/3)$. Nota che quella che avevamo trovato era la prima retta...
$(x - 1)^2 + z^2 = y^2$
per cui il sistema diventerebbe
${(x - y + 2z = 1),((x-1)^2 + z^2 = y^2):}$
Utilizzando Maxima ho ottenuto la seguente soluzione: $(t, t-1, 0) \cup (s, -5(s-1)/3, -4(s-1)/3)$. Nota che quella che avevamo trovato era la prima retta...
Il versore $(a,b,c)$ che individua la retta deve soddisfare il seguente sistema:
$a^2 + b^2 + c^2 = 1$ condizione di normalizzazione
$a - b + 2c = 0$ perchè giace in un piano perpendicolare al vettore $(1,-1,2)$
$b = sqrt(2)/2$ perchè il prodotto scalare con il versore $(0,1,0)$ deve dare $cos(\pi/4)$
Si conclude applicando la solita formula della retta nello spazio conoscendo un punto e un vettore che le appartiene.
$a^2 + b^2 + c^2 = 1$ condizione di normalizzazione
$a - b + 2c = 0$ perchè giace in un piano perpendicolare al vettore $(1,-1,2)$
$b = sqrt(2)/2$ perchè il prodotto scalare con il versore $(0,1,0)$ deve dare $cos(\pi/4)$
Si conclude applicando la solita formula della retta nello spazio conoscendo un punto e un vettore che le appartiene.
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