Determinare prodotto scalare
Ciao ragazzi! Mi trovo a dover dire se il prodotto così definito in $\mathbb{R^2}$ sia o meno un prodotto scalare:
$(x,y)·(z,w)=2xz+xw+yz+yw$
Non ho, ovviamente, problemi nel controllare che rispetti la proprietà simmetrica, così come per la bilinearità.
Mi trovo invece in difficoltà nel dimostrare che $(x, y) ·(x, y) \geq 0$ per ogni $(x, y) \in \mathbb{R^2}$ e $(x, y) ·(x, y) = 0 \Leftrightarrow (x, y) = 0$.
Non riesco a procedere perché mi trovo di fronte ad un'equazione di secondo grado in due variabili:
$2x^2 + y^2 - 2xy = 0$.
Non abbiamo ancora trattato l'argomento delle equazioni in più variabili quindi non so come fare.
Sicuramente c'è qualcosa di banale che non mi balza all'occhio, vorrei un aiuto da voi!
Grazie mille!
$(x,y)·(z,w)=2xz+xw+yz+yw$
Non ho, ovviamente, problemi nel controllare che rispetti la proprietà simmetrica, così come per la bilinearità.
Mi trovo invece in difficoltà nel dimostrare che $(x, y) ·(x, y) \geq 0$ per ogni $(x, y) \in \mathbb{R^2}$ e $(x, y) ·(x, y) = 0 \Leftrightarrow (x, y) = 0$.
Non riesco a procedere perché mi trovo di fronte ad un'equazione di secondo grado in due variabili:
$2x^2 + y^2 - 2xy = 0$.
Non abbiamo ancora trattato l'argomento delle equazioni in più variabili quindi non so come fare.
Sicuramente c'è qualcosa di banale che non mi balza all'occhio, vorrei un aiuto da voi!
Grazie mille!
Risposte
sì,in effetti non hai notato che puoi scrivere l'equazione in questo modo
$(x-y)^2+x^2=0$
che ha come soluzione solo la coppia (0,0)
$(x-y)^2+x^2=0$
che ha come soluzione solo la coppia (0,0)
Ecco fatto. Scusate la stupidità della domanda e grazie per l'illuminazione!
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