Determinare per quali valori esistono applicazioni lineari
Testo esercizio:
Considerati gli $RR$ spazi vettoriali $RR^4$ e $RR_2[x]$, determinare per quali valori di $kinRR$ esistono applicazioni lineari $f: RR^4->RR_2[x]$ tali che
$f(1,1-k,0,2)=-1+(k-1)x$
$f(0,2,k-1,-1)=1+x+(1-k)x^2$
$f(k-1,1,-1,0)=1-x+2x^2$
$f(1,1-k,2,3)=-k+4x-3x^2$
Verificato che per $k = 2$ esistono infinite applicazioni lineari f, determinare una di queste applicazioni e costruire la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche.
Qualcuno mi potrebbe dare un'idea su come svolgere questo esercizio?
Io so che per applicazione lineare si intende una funzione con la seguente proprietà : $f(\lambdav+\lambda'v')=\lambdaf(v)+\lambda'f(v')$
Però non so come questo possa servirmi per svolgere l'esercizio.
Considerati gli $RR$ spazi vettoriali $RR^4$ e $RR_2[x]$, determinare per quali valori di $kinRR$ esistono applicazioni lineari $f: RR^4->RR_2[x]$ tali che
$f(1,1-k,0,2)=-1+(k-1)x$
$f(0,2,k-1,-1)=1+x+(1-k)x^2$
$f(k-1,1,-1,0)=1-x+2x^2$
$f(1,1-k,2,3)=-k+4x-3x^2$
Verificato che per $k = 2$ esistono infinite applicazioni lineari f, determinare una di queste applicazioni e costruire la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche.
Qualcuno mi potrebbe dare un'idea su come svolgere questo esercizio?
Io so che per applicazione lineare si intende una funzione con la seguente proprietà : $f(\lambdav+\lambda'v')=\lambdaf(v)+\lambda'f(v')$
Però non so come questo possa servirmi per svolgere l'esercizio.
Risposte
Per favore, c'è qualcuno che mi possa dare una dritta?
la matrice M delle 4 antimmagini assegnate ( disposte per colonna) è :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&0&k-1&1\\1-k&2&1&1-k\\0&k-1&-1&2\\2&-1&0&3 \end{pmatrix} \)
Dopo faticosi calcoli ( che ti risparmio) risulta:
$det(M)=-(k-2)^2(k+3)$
Questo det non si annulla solo per $(k ne -3) & (k ne 2)$ ed in questo caso l'applicazione esiste ed è unica.
Ne segue che per $k=2$ ( oppure per $k=-3$) esistono infinite applicazioni lineari.
In quest'ultimo caso per avere una delle tante app.lin si può agire come segue.
Per $k=2$ la M diventa:
\(\displaystyle M'=\begin{pmatrix}1&0&1&1\\-1&2&1&-1\\0&1&-1&2\\2&-1&0&3 \end{pmatrix} \)
Ovviamente $M'$ ha rango 3 e si verifica che, per esempio, la quarta colonna è combinazione lineare delle prime 3. Pertanto le prime 3 colonne sono indipendenti e di esse si conoscono le relative immagini. Di conseguenza per costruire un'applic. lineare occorre aggiungere un quarto vettore con la relativa immagine; per esempio si può porre:
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} =x^2 \)
A questo punto hai 4 vettori ( che sono dati dalla prime 3 colonne della M' e da quello ora aggiunto) con le relative immagini e puoi quindi determinare, con i procedimenti usuali, l'applicazione lineare richiesta e la matrice associata.
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&0&k-1&1\\1-k&2&1&1-k\\0&k-1&-1&2\\2&-1&0&3 \end{pmatrix} \)
Dopo faticosi calcoli ( che ti risparmio) risulta:
$det(M)=-(k-2)^2(k+3)$
Questo det non si annulla solo per $(k ne -3) & (k ne 2)$ ed in questo caso l'applicazione esiste ed è unica.
Ne segue che per $k=2$ ( oppure per $k=-3$) esistono infinite applicazioni lineari.
In quest'ultimo caso per avere una delle tante app.lin si può agire come segue.
Per $k=2$ la M diventa:
\(\displaystyle M'=\begin{pmatrix}1&0&1&1\\-1&2&1&-1\\0&1&-1&2\\2&-1&0&3 \end{pmatrix} \)
Ovviamente $M'$ ha rango 3 e si verifica che, per esempio, la quarta colonna è combinazione lineare delle prime 3. Pertanto le prime 3 colonne sono indipendenti e di esse si conoscono le relative immagini. Di conseguenza per costruire un'applic. lineare occorre aggiungere un quarto vettore con la relativa immagine; per esempio si può porre:
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} =x^2 \)
A questo punto hai 4 vettori ( che sono dati dalla prime 3 colonne della M' e da quello ora aggiunto) con le relative immagini e puoi quindi determinare, con i procedimenti usuali, l'applicazione lineare richiesta e la matrice associata.
Ancora una domanda, per trovare $f(e_1)=x^2$ come faccio?
Io farei per esempio :
$f(e_1-e_2+2e_4)=-1+x$
$f(2e_2+e_3-e_4)=1+x-x^2$
$f(e_1+e_2-e_3)=1-x+2x^2$
$f(e_1-e_2+2e_3+3e_4)=-2+4x-3x^2$
E poi procederei, per esempio, con la prima riga nel seguente modo:
$f(e_1)-f(e_2)+2f(e_4)=-1+x -> f(e_1)= f(e_2)-2f(e_4)-1+x $
E risolverei tutto per sostituzione, ma non sono molto sicuro che sia giusto.
Io farei per esempio :
$f(e_1-e_2+2e_4)=-1+x$
$f(2e_2+e_3-e_4)=1+x-x^2$
$f(e_1+e_2-e_3)=1-x+2x^2$
$f(e_1-e_2+2e_3+3e_4)=-2+4x-3x^2$
E poi procederei, per esempio, con la prima riga nel seguente modo:
$f(e_1)-f(e_2)+2f(e_4)=-1+x -> f(e_1)= f(e_2)-2f(e_4)-1+x $
E risolverei tutto per sostituzione, ma non sono molto sicuro che sia giusto.
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