Determinare parametro reale $h$ in un sottospazio
Siano assegnati i seguenti sottospazi dello spazio vettoreiale $RR^4$:
- $U=L((-1,1,2,0);(0,0,2,1))$
$W = {(x,y,z,t) in RR^4 : x-2y+z-3t = 0, y+t=0}$[/list:u:1ufdyv40]
Determinare i valori del parametro reale $h$ tali che il vettore $(-1,1,h^2-3h,h-4)$ appartenga al sottospazio $U nn W$.
Procedo con lo stabilire una base di $W$.
Trovo poi il sottospazio $U nn W$, e verifico con Grassman che $dim ( U nn W) = 1$.
Il sottospazio è: $(-1,1,2,0)$.
Il problema è questo. Credo che per "definizione" il vettore $v$ per essere contenuto nel sottospazio di cui sopra, debba contenere i valori del sottospazio meno qualcuno. Probabilmente è proprio qui che mi sbaglio! Come posso stabilire il paramentro $h$, che operazione e quali regole devo seguire?
Grazie.
Risposte
Non ho controllato i conti, ma secondo me non c'è nessun $h$ per cui quel vettore sta nel sottospazio intersezione.
Infatti, affinchè un vettore stia in $U nn W$ deve essere combinazione lineare degli elementi di una base del sottospazio stesso: qui siamo ancora più fortunati, il sottospazio ha dimensione 1, quindi il vettore in questione dovrebbe avere le componenti proporzionali a $(-1,1,2,0)$: un rapido conto mostra che ciò non avviene per nessun valore di $h$. Infatti...
Infatti, affinchè un vettore stia in $U nn W$ deve essere combinazione lineare degli elementi di una base del sottospazio stesso: qui siamo ancora più fortunati, il sottospazio ha dimensione 1, quindi il vettore in questione dovrebbe avere le componenti proporzionali a $(-1,1,2,0)$: un rapido conto mostra che ciò non avviene per nessun valore di $h$. Infatti...
"Paolo90":
Non ho controllato i conti, ma secondo me non c'è nessun $h$ per cui quel vettore sta nel sottospazio intersezione.
Infatti, affinchè un vettore stia in $U nn W$ deve essere combinazione lineare degli elementi di una base del sottospazio stesso: qui siamo ancora più fortunati, il sottospazio ha dimensione 1, quindi il vettore in questione dovrebbe avere le componenti proporzionali a $(-1,1,2,0)$: un rapido conto mostra che ciò non avviene per nessun valore di $h$. Infatti...
Già, è quello che pensavo anche io prima di vedere il risultato: $h=3$. Non me ne capacito!
EDIT: questa tua frase è stata illuminante ( affinchè un vettore stia in $U nn W$ deve essere combinazione lineare degli elementi di una base del sottospazio stesso ). Mi son messo a vedere i vettori della base stessa (stiamo parlando di $W$), essi sono:
$(1,-1,0,1)$ e $(0,-1,1,1)$.
In effetti con $h=3$ si trova che il vettore è uguale a: $(-1,1,0,-1)$ che può essere espresso come combinazione lineare del primo di sopra:
$(1,-1,0,1) = -1 (-1,1,0,-1)$
È così? Correggetemi se sbaglio...
No, aspetta, non ho capito.
Ma vuoi che il vettore stia nell'intersezione o solo in $W$?
Per $h=3$ il vettore diventa $(-1,1, 0,-1)$ le cui componenti NON sono certo proporzionali a $(-1,1,2,0)$ (che, secondo i tuoi conti, è una base dell'intersezione).
Sii più preciso, se no non capiamo.
Ma vuoi che il vettore stia nell'intersezione o solo in $W$?
Per $h=3$ il vettore diventa $(-1,1, 0,-1)$ le cui componenti NON sono certo proporzionali a $(-1,1,2,0)$ (che, secondo i tuoi conti, è una base dell'intersezione).
Sii più preciso, se no non capiamo.
"Paolo90":
No, aspetta, non ho capito.
Ma vuoi che il vettore stia nell'intersezione o solo in $W$?
Per $h=3$ il vettore diventa $(-1,1, 0,-1)$ le cui componenti NON sono certo proporzionali a $(-1,1,2,0)$ (che, secondo i tuoi conti, è una base dell'intersezione).
Sii più preciso, se no non capiamo.
Come da traccia, il vettore deve essere contenuto nell'intersezione. Però poi tu hai scritto: affinchè un vettore stia in $U nn W$ deve essere combinazione lineare degli elementi di una base del sottospazio stesso. E quindi ho tratto quella conclusione... è evidente mi sia sbagliato riferendomi con "stesso" a "$W$"
ciao... allora come ha detto Paolo90 un vettore per appartenere ad un sottospazio deve essere combinazione lineare degli elementi di una base del sottospazio stesso... in questo caso il sottospazio in considerazione è $UnnW$... quindi bisogna calcolare una base di $UnnW$... esso è constituito dal sistema lineare che ha come equazioni sia quelle di U sia quelle di W... quelle di W già ce le hai quindi ti devi calcolare quelle di U... si prende il generico vettore $(x,y,z,t)inRR^4$ e si impone che il rango dell matrice:
$A=((x,y,z,t),(-1,1,2,0),(0,0,2,1))$ sia uguale a 2
con il teorema degli orlati ti ricavi poi ke il sistema lineare ke rappresenta U è:
$\{(2y-z+2t=0),(2x+z-2t=0):}$
a questo punto $UnnW$ è rappresentato dal sistema:
$\{(x-2y+z-3t=0),(y+t=0),(2y-z+2t=0),(2x+z-2t=0):}$
da cui ti ricavi che $UnnW$ ha dimensione 1 e che una base di $UnnW$ può essere $[(1,-1,0,1)]$
a questo punto affinchè il vettore $(-1,1,h^2-3h,h-4)$ appartenga a $UnnW$ basta imporre che il rango della matrice
$A=((1,-1,0,1),(-1,1,h^2-3h,h-4))$ sia uguale a 1
per accadere ciò bisogna imporre
$|(-1,0),(1,h^2-3h)|=0$ da cui si ricava $h=0$ e $h=3$
$|(-1,1),(1,h-4)|=0$ da cui si ricava $h=3$
$|(1,0),(-1,h^2-3h)|=0$ da cui si ricava $h=0$ e $h=3$
quindi la soluzione comune è $h=3$...
spero di esserti stato utile
ciao!
$A=((x,y,z,t),(-1,1,2,0),(0,0,2,1))$ sia uguale a 2
con il teorema degli orlati ti ricavi poi ke il sistema lineare ke rappresenta U è:
$\{(2y-z+2t=0),(2x+z-2t=0):}$
a questo punto $UnnW$ è rappresentato dal sistema:
$\{(x-2y+z-3t=0),(y+t=0),(2y-z+2t=0),(2x+z-2t=0):}$
da cui ti ricavi che $UnnW$ ha dimensione 1 e che una base di $UnnW$ può essere $[(1,-1,0,1)]$
a questo punto affinchè il vettore $(-1,1,h^2-3h,h-4)$ appartenga a $UnnW$ basta imporre che il rango della matrice
$A=((1,-1,0,1),(-1,1,h^2-3h,h-4))$ sia uguale a 1
per accadere ciò bisogna imporre
$|(-1,0),(1,h^2-3h)|=0$ da cui si ricava $h=0$ e $h=3$
$|(-1,1),(1,h-4)|=0$ da cui si ricava $h=3$
$|(1,0),(-1,h^2-3h)|=0$ da cui si ricava $h=0$ e $h=3$
quindi la soluzione comune è $h=3$...
spero di esserti stato utile
ciao!
Il sottospazio da considerare è $U nn W$...
si infatti avevo sbagliato a scrivere ora ho corretto... e cmq $UuuW$ generalmente non è un sottospazio vettoriale...
Sì, scusa, il mio era un discorso generale. $barx in A iff barx$ si scrive come combinazione lineare degli elementi di una base di $A$. $A$ è uno spazio/sottospazio vettoriale qualsiasi.
Ok, capito. Aggiungo che non ho mai svolto un esercizio col metodo propostomi da TheBest, imparerò qualcosa di nuovo.
Solo un paio di domande: devo per forza utilizzare quel metodo per trovare le equazioni in forma cartesiana? il rango deve essere imposto uguale ad uno perché $dim(U nn W) = 1$? Perché hai scelto proprio quelle tre matrici da imporre il determinante uguale a zero?
Solo un paio di domande: devo per forza utilizzare quel metodo per trovare le equazioni in forma cartesiana? il rango deve essere imposto uguale ad uno perché $dim(U nn W) = 1$? Perché hai scelto proprio quelle tre matrici da imporre il determinante uguale a zero?
beh si per trovare una rappresentazione cartesiana di U a me hanno insegnato in questo modo... si prende il generico vettore $(x,y,z,t)inRR^4$ e lo si mette in matrice con i vettori di U:
$A=((x,y,z,t),(-1,1,2,0),(0,0,2,1))$
imponendo ke il rango sia uguale a 2 perchè quel vettore deve essere combinazione lineare degli altri...
ora ti scegli un minore di ordine 2 con determinante $!=0$ ad esempio $|(2,0),(2,1)|$
con il teorema degli orlati affinchè il rango della matrice A sia uguale a 2 basta imporre:
$|(y,z,t),(1,2,0),(0,2,1)|=0$ da cui $2y+2t-z=0$
$|(x,z,t),(-1,2,0),(0,2,1)|=0$ da cui $2x-2t+z=0$
e quindi ha trovato la rappresentazione cartesiana di U
il rango della matrice:
$A=((1,-1,0,1),(-1,1,h^2-3h,h-4))$
deve essere uguale a 1 sempre perchè il vettore $(-1,1,h^2-3h,h-4)$ deve essere combinazione lineare degli elementi di una base di $UnnW$
quindi tutti i minori di ordine 2 devono avere determinante uguale a 0... si potrebbe fare sempre con il teorema degli orlati, ma visto ke le matrice sono piccole prima ti avevo scritto tutti i minori di ordine 2 tranne uno, essi sono:
$|(1,-1),(-1,1)|=0$ che è vero
$|(-1,0),(1,h^2-3h)|=0$ da cui $-h^2+3h=0$ -> $h(h-3)=0$ -> $h=0$ e $h=3$
$|(-1,1),(1,h-4)|=0$ da cui $-h+4-1=0$ -> $h=3$
$|(1,0),(-1,h^2-3h)|=0$ da cui $h^2-3h=0$ -> $h(h-3)=0$ -> $h=0$ e $h=3$
quindi $h=3$
ciao
$A=((x,y,z,t),(-1,1,2,0),(0,0,2,1))$
imponendo ke il rango sia uguale a 2 perchè quel vettore deve essere combinazione lineare degli altri...
ora ti scegli un minore di ordine 2 con determinante $!=0$ ad esempio $|(2,0),(2,1)|$
con il teorema degli orlati affinchè il rango della matrice A sia uguale a 2 basta imporre:
$|(y,z,t),(1,2,0),(0,2,1)|=0$ da cui $2y+2t-z=0$
$|(x,z,t),(-1,2,0),(0,2,1)|=0$ da cui $2x-2t+z=0$
e quindi ha trovato la rappresentazione cartesiana di U
il rango della matrice:
$A=((1,-1,0,1),(-1,1,h^2-3h,h-4))$
deve essere uguale a 1 sempre perchè il vettore $(-1,1,h^2-3h,h-4)$ deve essere combinazione lineare degli elementi di una base di $UnnW$
quindi tutti i minori di ordine 2 devono avere determinante uguale a 0... si potrebbe fare sempre con il teorema degli orlati, ma visto ke le matrice sono piccole prima ti avevo scritto tutti i minori di ordine 2 tranne uno, essi sono:
$|(1,-1),(-1,1)|=0$ che è vero
$|(-1,0),(1,h^2-3h)|=0$ da cui $-h^2+3h=0$ -> $h(h-3)=0$ -> $h=0$ e $h=3$
$|(-1,1),(1,h-4)|=0$ da cui $-h+4-1=0$ -> $h=3$
$|(1,0),(-1,h^2-3h)|=0$ da cui $h^2-3h=0$ -> $h(h-3)=0$ -> $h=0$ e $h=3$
quindi $h=3$
ciao
Ok, capito. A me hanno insegnato un altro metodo per trovare le equazioni di tipo cartesiano, per questo il tuo mi sembrava così misterioso! Capito anche quanto hai detto sui minori, ma come ti dicevo, è un metodo che non ho mai visto applicare... Grazie mille 
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