Determinare parabola con condizioni
Buongiorno ragazzi,
ho un problema con il seguente esercizio:
Determinare la parabola del piano euclideo, avente per asse la retta $r: x+2y-3=0$ e tangente alla retta $s:y-2=0$ nel punto $A=(3,2)$.
Il ragionamento che ho fatto è il seguente:
Essendo la retta r l'asse di simmetria di questa parabola posso trovare il punto $ A' $ simmetrico ad $A$ rispetto alla retta r. (eseguendo i calcoli trovo le coordinate di $A'=(7/5,-6/5)$)
Cerco ora la retta $s'$ simmetrica alla retta $s$ rispetto all'asse.
Per trovare questa retta ho considerato un altro punto sulla retta s (ovvero il punto B=(0,2)) ne ho calcolato il suo simmetrico rispetto all'asse ed ho trovato il punto $B'=(-2/5,26/5)$ detto ciò ho cercato la retta $s': 32x+9y-34=0$.
Inoltre, dalla conoscenza del'equazione dell'asse posso ricavare il punto all'infinito (punto improprio) $P=[0,2,-1]$
Quindi adesso ho:
Il punto A e la tg in A che è la retta s
Il punto A' e la tg in A' che è la retta s'
Il punto improprio P
Come posso impostare il problema?
Pensavo di considerare come due coniche degeneri generatrici del fascio le coniche
C': ((retta s)$U$(retta s'))
$C'': (reTta(A A'))^2$
Ma se faccio in questo modo poi dovrei imporre il passaggio del fascio per il punto improprio P...
Potete darmi una mano?
ho un problema con il seguente esercizio:
Determinare la parabola del piano euclideo, avente per asse la retta $r: x+2y-3=0$ e tangente alla retta $s:y-2=0$ nel punto $A=(3,2)$.
Il ragionamento che ho fatto è il seguente:
Essendo la retta r l'asse di simmetria di questa parabola posso trovare il punto $ A' $ simmetrico ad $A$ rispetto alla retta r. (eseguendo i calcoli trovo le coordinate di $A'=(7/5,-6/5)$)
Cerco ora la retta $s'$ simmetrica alla retta $s$ rispetto all'asse.
Per trovare questa retta ho considerato un altro punto sulla retta s (ovvero il punto B=(0,2)) ne ho calcolato il suo simmetrico rispetto all'asse ed ho trovato il punto $B'=(-2/5,26/5)$ detto ciò ho cercato la retta $s': 32x+9y-34=0$.
Inoltre, dalla conoscenza del'equazione dell'asse posso ricavare il punto all'infinito (punto improprio) $P=[0,2,-1]$
Quindi adesso ho:
Il punto A e la tg in A che è la retta s
Il punto A' e la tg in A' che è la retta s'
Il punto improprio P
Come posso impostare il problema?
Pensavo di considerare come due coniche degeneri generatrici del fascio le coniche
C': ((retta s)$U$(retta s'))
$C'': (reTta(A A'))^2$
Ma se faccio in questo modo poi dovrei imporre il passaggio del fascio per il punto improprio P...
Potete darmi una mano?
Risposte
Per poter lavorare con i punti impropri conviene considerare il corrispondente fascio di coniche proiettive: l'equazione di una conica generica del fascio sarà quindi un polinomio omogeneo in tre variabili, e se chiami $z$ la terza variabile dovrai porre $z=0$, $x=2$ e $y=-1$.
In alternativa puoi imporre che la conica sia una parabola, cioè che i tre termini di secondo grado diano il quadrato di un binomio.
In alternativa puoi imporre che la conica sia una parabola, cioè che i tre termini di secondo grado diano il quadrato di un binomio.
Ciao spugna,
intanto grazie per la tua risposta...quindi posso trovare i due coefficienti $lambda$ e $mu$ imponendo anche il passaggio per un punto improprio? (ovviamente lavorando con le coordinate proiettive)
intanto grazie per la tua risposta...quindi posso trovare i due coefficienti $lambda$ e $mu$ imponendo anche il passaggio per un punto improprio? (ovviamente lavorando con le coordinate proiettive)
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