Determinare matrice endomorfismo

[mazzy89-votailprof]

ho svolto il seguente esercizio ma non so se sono giunto alla soluzione esatta o comunque il mio ragionamento sia giusto.lo posto magari se ho commesso un errore qualche saggio può vederlo e correggerlo così magari evitare di sbagliare in futuro.

studiare l'endomorfismo $phi_h:V_h->V_h$ definito dalla legge

$phi_h(a+bx+cx^2+dx^3)=(h-x)(b+2cx+(c-d)x^2)$

dove $V_h={f in RR_3[x] | f(h)=0}$

per iniziare mi calcolo una base di $V_h$. questa sarà $B=(-h+x,-h^2+x^2,-h^3+x^3)$ quindi segue che $V_h=L(-h+x,-h^2+x^2,-h^3+x^3)$.sostituisco alla legge ed ottengo

$phi_h(-h+x)=h-x$

$phi_h(-h^2+x^2)=2hx+(h-2)x^2-x^3$

$phi_h(-h^3+x^3)=-hx^2+x^3$

mi calcolo le componenti rispetto alla base ed ottengo

$phi_h(-h+x)=-v_1$
$phi_h(-h^2+x^2)=2hv_1+(h-2)v_2-v_3$
$phi_h(-h^3+x^3)=-hv_2+v_3$

dove $v_1,v_2,v_3$ sono i tre vettori della base $V_h$

a questo punto posso scriveremo la matrice associata all'applicazione lineare che risulta essere pari a:

$((-1,2h,0),(0,h-2,-h),(0,-1,1))$

è giusto il ragionamento condotto?

[weblan]

Non ho controllato tutti i calcoli, approvo il procedimento.

Un'altra base di $V_h$ potrebbe essere $1(x-h), x(x-h), x^2(x-h)$.