Determinare matrice di rotazione

[Rameses]

Come da titolo sto avendo difficoltà con questo esercizio:
Sia A= $ {: ( 2 , 2 ),( 2 , 2 ) :} $
Determinare matrice di rotazione tale che tP*A*P= $ {: ( lambda , 0 ),( 0 , lambda ) :} $ dove tP=trasposta di P.
Calcolo il polinomo caratteristico, ottengo:

(lambda)^2-2(lambda). Ottengo lambda(1)=2; lambda(2)=0.
A questo punto eseguo i seguenti passaggi:
V(lambda(1))= $ {: ( 2 , 2 ),( 2 , 2 ) :} $ - $ {: ( 2 , 0 ),( 0 , 2 ) :} $ = $ {: ( 0 , 2 ),( 2 , 0 ) :} $ Ora, facendo due conti, ottengo il vettore [0;0] ma penso sia sbagliato. (In caso lo fosse, potreste cortesemente spiegarmi il perché)
V(lambda(2))= ${: ( 2 , 2 ),(2 , 2 ):}$ - 0= [1; -1]
A questo punto ricavo la matrice P= $ {: ( 0 , 1 ),( 0 , -1 ) :}$ . Poi da qua in in poi mi sono incartato coi conti, potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo,
Rameses.

[dissonance]

Il vettore \((0,0)\) non conta quando cerchi autovettori. Purtroppo si vede che stai trascurando la teoria.

Devi trovare una soluzione NON BANALE di \(Av=\lambda v\) per concludere per \(\lambda\) è un autovalore. Altrimenti tutti i numeri sarebbero autovalori di tutte le matrici.

[Rameses]

Dunque come mi comporto quando trovo un vettore nullo?

[Magma1]

"Rameses":Dunque come mi comporto quando trovo un vettore nullo?

Se la matrice è diagonalizzabile, significa che hai sbagliato i calcoli[nota]

"Rameses":
Calcolo il polinomo caratteristico, ottengo:

$lambda^2-2lambda$

Infatti hai sbagliato a calcolare il determinante; prova a rifarlo:

$det(A-lambdaI)=det((2-lambda,2),(2,2-lambda))=$

[/nota]!

In questo caso non serve nemmeno farne tanti, basta osservare che

$r((2,2),(2,2))=1$

il che ti dice subito che dovrai cercare uno autovettore appartenente all'immagine e uno al kernel

${((1),(1)),((1),(-1))} $

i rispettivi autovalori saranno $4$ e $1$; quindi la matrice da te cercata sarà?

P.S.: Morale della favola, non fare i calcoli con il paraocchi, la teoria aiuta a ragionare in modo proficuo ottimizzando il tempo!