Determinare l'insieme S dei vettori ortogonali a v e w

[Schultz1]

Sia $V=R^3$, determinare l'insieme S dei vettori di $R^3$ ortogonali ai vettori $v=(1,1,0)$ e $w=(-1,2-1)$. Determina anche una base di $S$. Sapete dirmi come fare? Domani ho l'esame!

[Magma1]

Devi trovare un vettore $z in RR^3$ che sia ortogonali sia a $v$ sia a $w$; si tratterà di risolvere un sistema.

Sapresti trovare il vettore ortogonale a $v$?

[Schultz1]

Quindi viene
$l-m=0;$
$-l-2m+n=0;$

Poi mi trovo una lettera in funziona delle altre e in base ai valori che pongo ottengo i vari vettori? E come lo scrivo sottoforma di di insieme S? Una sua base quindi sarebbe un vettore con le lettere sostituite in numeri?

[Ernesto011]

Il generico vettore lo stai chiamando $z=(l,m,n)$ se ho capito bene.
$ =0$ cioè $l+m=0$
$ =0$ cioè $-l+2m-n=0$
Quindi diciamo che il tuo risultato era giusto a meno di qualche segno, mettendo a sistema trovi una retta, che è proprio il sottospazio di $RR^3$ ortogonale a $S$.
In generale dalla teoria sai che se hai un sottospazio vettoriale $RR^n$ di dimensione $m<=n$, allora il suo ortogonale ha dimensione $n-m$
Spero di averti risposto, dato che non ho capito neanche una delle tue domande

[Schultz1]

Allora, se ho 2 equazioni, come trovo i risultati?

[Ernesto011]

Dunque, se stai affrontando un esame di geometria sicuramente hai sentito parlare di sistemi lineari. Questo è un sistema lineare con 2 equazioni e 3 incognite, per risolverlo ci sono tanti modi (gauss, riduzione, sostituzione).
In questo caso particolare è facile dato che sono 2 piani, guarda qui:
http://www.****.it/lezioni/algebra-l ... retta.html

[Schultz1]

Eh si, ottengo $l=-m$ e $n=-3m$, quindi$z=(-m,m,-3m)$
Ora, in base hai valori che dò ad $m$ ottengo i vari componenti dell'insieme S?

[Ernesto011]

Si, quindi una base è per esempio $B={(-1,1,-3)}$

[Schultz1]

Era esattemente quello che volevo sapere! Grazie davvero, scusa per il tempo perso e per non averti capire molto le mie richieste!