Determinare l'immagine di un vettore
Sia f un'applicazione lineare di $ R^3->R^4 $ tale che:
$ f((1,0,1))=(0,1,1,1), $
$ f((0,1,-1))=(2,-1,0,0), $
$ f((1,1,-1))=(0,0,0,0); $
Dimostrare che il sistema di vettori $ S={(1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1)} $ è una base di $ R^3 $ e determinare l'immagine del vettore $ u=(3,-4,1) $
Per dimostrare che S è una base di $ R^3 $ ho messo i vettori di S come riga in una matrice ho svolto l'eliminazione di gauss ed ho visto che tutti e tre i vettori sono indipendenti(poichè compaiono 3 pivot), dopodichè per calcolare l'img del vettore u, svolto questo:
$ f((3,-4,1)=0(0,1,1,1)-3(2,-1,0,0)+3(0,0,0,0) $
0, -3 e 3 li ho calcolati andando a svolgere questo:
$ (3,-4,1)=h1(1,0,1)+h2(0,1,-1)+h3(1,1,-1) $
in definitiva ho ottenuto:
$ f((3,-4,1))=(-6,3,0,0) $
è giusto come ho proceduto?
$ f((1,0,1))=(0,1,1,1), $
$ f((0,1,-1))=(2,-1,0,0), $
$ f((1,1,-1))=(0,0,0,0); $
Dimostrare che il sistema di vettori $ S={(1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1)} $ è una base di $ R^3 $ e determinare l'immagine del vettore $ u=(3,-4,1) $
Per dimostrare che S è una base di $ R^3 $ ho messo i vettori di S come riga in una matrice ho svolto l'eliminazione di gauss ed ho visto che tutti e tre i vettori sono indipendenti(poichè compaiono 3 pivot), dopodichè per calcolare l'img del vettore u, svolto questo:
$ f((3,-4,1)=0(0,1,1,1)-3(2,-1,0,0)+3(0,0,0,0) $
0, -3 e 3 li ho calcolati andando a svolgere questo:
$ (3,-4,1)=h1(1,0,1)+h2(0,1,-1)+h3(1,1,-1) $
in definitiva ho ottenuto:
$ f((3,-4,1))=(-6,3,0,0) $
è giusto come ho proceduto?
Risposte
Ok, anche se potevi procedere solo con il calcolo matriciale.
Cioè? cosa avrei dovuto fare?
Inoltre se volessi Determinare una base di Imf, come dovrei procedere?
Inoltre se volessi Determinare una base di Imf, come dovrei procedere?
La tua risoluzione è quasi la dimostrazione del procedimento. Una volta compresi i concetti, più sinteticamente:
$((0,2,0),(1,-1,0),(1,0,0),(1,0,0))((1,0,1),(0,1,1),(1,-1,-1))^-1((3),(-4),(1))$
$((0,2,0),(1,-1,0),(1,0,0),(1,0,0))((1,0,1),(0,1,1),(1,-1,-1))^-1((3),(-4),(1))$
Per determinare la base di Im(f) come faccio?
Calcoli il rango della matrice che rappresenta la trasformazione lineare e consideri le colonne linearmente indipendenti.
"speculor":
$((0,2,0),(1,-1,0),(1,0,0),(1,0,0))$
Quindi applicando l'eliminazione di gauss, prendo in considerazione solamente i vettori indipendenti, i quali determineranno una base di Im(f), se la matrice è questa che mi hai scritto in alto(2 post precedenti), perchè hai messo i vettori in colonna?
Mi sono accorto che hai sbagliato i calcoli nel determinare $(h_1,h_2,h_3)$. Se provi a rendere il tuo ragionamento in termini matriciali, comprenderai come costruire le matrici necessarie.
Sinceramente ancora non ho capito come ragionare in questo caso, in termini matriciali.
Nel calcolare h1,h2 e h3 ho praticamente svolto il seguente sistema lineare:
$ ( ( h1+h3=3 ),( h2+h3=-4 ),( h1-h2-h3=1 ) ) $
Ed hai ragione, ottengo: $ h1=-4, h2=-11, h3=7 $, ti trovi con i miei calcoli, quindi se non erro:
f((3,-4,-1))=(-26,7,-4,-4).
Confermi?
Nel calcolare h1,h2 e h3 ho praticamente svolto il seguente sistema lineare:
$ ( ( h1+h3=3 ),( h2+h3=-4 ),( h1-h2-h3=1 ) ) $
Ed hai ragione, ottengo: $ h1=-4, h2=-11, h3=7 $, ti trovi con i miei calcoli, quindi se non erro:
f((3,-4,-1))=(-26,7,-4,-4).
Confermi?
Non confermo, basta fare una verifica. La soluzione è $(-3,-10,6)$.
Scusa, ma ho impostato bene il sistema per calcolare le componenti?
Ti ho già detto che il ragionamento era corretto. Hai fatto una verifica? Quella non è soluzione del tuo sistema.
Grazie speculor, l'unica cosa che non ho capito è determinare una base di Im(f) tu mi hai detto di calcolare il rango della matrice che rappresenta la trasformazione lineare, cosa significa?
Devo fare questo?
Quindi applicando l'eliminazione di gauss, prendo in considerazione solamente i vettori indipendenti, i quali determineranno una base di Im(f), se la matrice è questa che mi hai scritto in alto(2 post precedenti), perchè hai messo i vettori in colonna?[/quote]
"gaten":
[quote="speculor"]
$((0,2,0),(1,-1,0),(1,0,0),(1,0,0))$
Quindi applicando l'eliminazione di gauss, prendo in considerazione solamente i vettori indipendenti, i quali determineranno una base di Im(f), se la matrice è questa che mi hai scritto in alto(2 post precedenti), perchè hai messo i vettori in colonna?[/quote]
Perchè il calcolo matriciale richiede che i vettori trasformati della base siano le colonne della matrice che rappresenta la trasformazione lineare.
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