Determinare l'esistenza di una base
Buongiorno!
Ho delle difficoltà nello sviluppo di questo esercizio:
Sia dato l'endomorfismo F di $R^3$ avente come autospazi
$(1,1,1)$
$(1,1,0)$
Rispetto all'autovalore 2 e
$(1,0,0)$
Rispetto all'autovalore 3.
Io ho trovato l'equazione di F:
$F(x,y,z) = (3x-y,2y,2z)$
Il problema è in questa domanda:
Stabilire se esiste una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta F è
$((2, 0, 1),(0,2,1),(0,0,3))$
Allora come primi due vettori della base potrei utilizzare i primi due autovettori, tuttavia non riesco a capire come ricavare il terzo vettore $(1,1,3)$
Ho delle difficoltà nello sviluppo di questo esercizio:
Sia dato l'endomorfismo F di $R^3$ avente come autospazi
$(1,1,1)$
$(1,1,0)$
Rispetto all'autovalore 2 e
$(1,0,0)$
Rispetto all'autovalore 3.
Io ho trovato l'equazione di F:
$F(x,y,z) = (3x-y,2y,2z)$
Il problema è in questa domanda:
Stabilire se esiste una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta F è
$((2, 0, 1),(0,2,1),(0,0,3))$
Allora come primi due vettori della base potrei utilizzare i primi due autovettori, tuttavia non riesco a capire come ricavare il terzo vettore $(1,1,3)$
Risposte
"Naraku93":
avente come autospazi
secondo me intendevi autovettori.
"Naraku93":
(1,1,0)
Rispetto all'autovalore 3.
come fa ad esistere l'applicazione lineare se allo stesso vettore associa immagini diverse ($(2,2,0)$ e $(3,3,0)$)?
"Naraku93":
non riesco a capire come ricavare il terzo vettore (1,1,3)
tu sai che le entrate della matrice rappresentativa sono i coefficienti della combinazione lineare. dunque indicando la base con $B={v_1=((a),(b),(c)),v_2=((d),(e),(f)),v_3=((g),(h),(i))}$ sai che
$v_1+v_2+3v_3=F(u_3)$
dove con $u_3$ indico l'immagine dell'autovettore dell'autovalore 3 che probabilmente sarà da correggere.
ora hai tutto dato che conosci $v_1,v_2$
Grazie, ovviamente avevi ragione, ho corretto l'autovettore sbagliato.
Bumpo il thread perchè non sono ancora riuscito ad arrivare alla soluzione.
Rinnovo la domanda: Le prime due colonne della matrice sono probabilmente i due vettori di autovalore 2.
Il terzo invece come lo trovo? Non credo sia l'autovettore di autovalore 3, in quel caso la terza colonna sarebbe stata 0,0,3.
Rinnovo la domanda: Le prime due colonne della matrice sono probabilmente i due vettori di autovalore 2.
Il terzo invece come lo trovo? Non credo sia l'autovettore di autovalore 3, in quel caso la terza colonna sarebbe stata 0,0,3.
il terzo lo trovi come già ti avevo suggerito..
$v_1$ e $v_2$ prendi gli autovettori. per calcolare $v_3$ risolvi il sistema associato a $F(u_3)=v_1+v_2+3v_3$ dove le uniche incognite sono le entrate di $v_3$
quella scrittura sta esattamente ad indicare la definizione di matrice associata. in partenza abbiamo assunto come base quella formata dagli autovettori e quindi abbiamo calcolato le immagini di questi tramite F. ora per scrivere la matrice associata dobbiamo esprimere le immagini trovate rispetto alla base di arrivo che nel nostro caso è B (incognita). i coefficienti che moltiplicano i vettori della base sono le entrate della matrice. noi qui abbiamo i coefficienti ma non le coordinate della base
"cooper":
tu sai che le entrate della matrice rappresentativa sono i coefficienti della combinazione lineare. dunque indicando la base con $ B={v_1=((a),(b),(c)),v_2=((d),(e),(f)),v_3=((g),(h),(i))} $ sai che
$ v_1+v_2+3v_3=F(u_3) $
dove con $ u_3 $ indico l'immagine dell'autovettore dell'autovalore 3 che probabilmente sarà da correggere.
ora hai tutto dato che conosci $ v_1,v_2 $
$v_1$ e $v_2$ prendi gli autovettori. per calcolare $v_3$ risolvi il sistema associato a $F(u_3)=v_1+v_2+3v_3$ dove le uniche incognite sono le entrate di $v_3$
quella scrittura sta esattamente ad indicare la definizione di matrice associata. in partenza abbiamo assunto come base quella formata dagli autovettori e quindi abbiamo calcolato le immagini di questi tramite F. ora per scrivere la matrice associata dobbiamo esprimere le immagini trovate rispetto alla base di arrivo che nel nostro caso è B (incognita). i coefficienti che moltiplicano i vettori della base sono le entrate della matrice. noi qui abbiamo i coefficienti ma non le coordinate della base
Quindi la base del dominio è differente da quella del codominio?
Quella del dominio sarà : (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0)
Quella del Codominio sarà: (1,1,1) (1,1,0) (1,-2-1)
giusto?
Quella del dominio sarà : (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0)
Quella del Codominio sarà: (1,1,1) (1,1,0) (1,-2-1)
giusto?
corretto
Però l'esercizio richiede una sola base (Deduco la stessa nel dominio e codominio) , è possibile svolgere l'esercizio con una sola base?
prova ma è un macello di conti (almeno per come farei io). avevo il tuo stesso problema, vedi se questa può esserti utile 
grazie adesso ci do un'occhiata
"Naraku93":
Il problema è in questa domanda:
Stabilire se esiste una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta F è
$((2, 0, 1),(0,2,1),(0,0,3))$
Ripesco questo problema perchè l'ho trovato interessante!
Se ho capito bene abbiamo $F=((3, -1, 0),(0,2,0),(0,0,2))$ e $X=((2, 0, 1),(0,2,1),(0,0,3))$ e vogliamo trovare una base B tale che $F=BXB^-1$, ovvero $FB=BX$
Purtroppo l'equazione non è risolvibile direttamente per B ma con un po' di lavoro si può ottenere che tutte le matrici
$B=((a, b, e),(a,b,-(a+b)),(c,d,-(c+d)))$ con $ det(B)!= 0 $ soddisfano la richiesta.
Per esempio ponendo $a=d=e=0$ e $b=-c=1$ si ottiene la base $ B={( ( 0 ),( 0 ),( -1 ) ), ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )} $ che soddisfa l'equazione.
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