Determinare l'equazione di una proiettività
Salve a tutti! sto preparando l'esame di algebra lineare e geometria e mi sono imbattuta nello studio delle proiettività.
Ho trovato un esercizio in cui mi si chiede di determinare l'equazione della proiettività che porta i punti
$ ( 1, 0 ,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,-1,1) $ rispettivamente in
$ (3,-3,3) (0,-1,1) (1,-1,0) (1,1,0) $
Ho pensato di risolvere un po' come con le affinità, cioè
$ ( ( x' ),( y'),( z' ) ) =( ( a , b , c ),( d, e , f ),( g , h , i ) ) ( ( x ),( y ),( z) ) $
dove il primo vettore rappresenta le immagini dei punti assegnati e l'ultimo i punti stessi, la matrice 3x3 è definita dai coefficienti che trovo risolvendo il sistema.
Evidentemente però non funziona... cosa sbaglio?
Grazie anticipatamente
Ho trovato un esercizio in cui mi si chiede di determinare l'equazione della proiettività che porta i punti
$ ( 1, 0 ,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,-1,1) $ rispettivamente in
$ (3,-3,3) (0,-1,1) (1,-1,0) (1,1,0) $
Ho pensato di risolvere un po' come con le affinità, cioè
$ ( ( x' ),( y'),( z' ) ) =( ( a , b , c ),( d, e , f ),( g , h , i ) ) ( ( x ),( y ),( z) ) $
dove il primo vettore rappresenta le immagini dei punti assegnati e l'ultimo i punti stessi, la matrice 3x3 è definita dai coefficienti che trovo risolvendo il sistema.
Evidentemente però non funziona... cosa sbaglio?
Grazie anticipatamente
Risposte
Funziona tenendo conto che ogni $n$-upla di coordinate di un punto di uno spazio proiettivo corrisponde allo stesso punto di un suo multiplo non nullo, per esempio \(\forall\lambda\ne 0\quad[1,0,0]=[\lambda,0,0]\).
Tendo conto di questo hai per esempio che \((a,d,g)=(3\alpha,-3\alpha,3\alpha)\) per qualche $\alpha$, \((b,e,h)=(0,-\beta,\beta)\) per qualche $\beta$ e \((c,f,i)=(\gamma,-\gamma,0)\) per qualche $\gamma$. Imponendo che la trasformazione valga anche per il punto \([1,-1,1]\) determini quali $\alpha,\beta,\gamma$ soddisfino la trasformazione. A me risulta che sia rappresentata dalla matrice\[\begin{pmatrix} 2 & 0 &-1 \\-2&-2&1 \\ 2&2&0 \end{pmatrix}\]e, naturalmente, per quanto detto all'inizio, anche da ogni suo multiplo non nullo.
Spero di non aver detto scemenze.
Ciao!
Tendo conto di questo hai per esempio che \((a,d,g)=(3\alpha,-3\alpha,3\alpha)\) per qualche $\alpha$, \((b,e,h)=(0,-\beta,\beta)\) per qualche $\beta$ e \((c,f,i)=(\gamma,-\gamma,0)\) per qualche $\gamma$. Imponendo che la trasformazione valga anche per il punto \([1,-1,1]\) determini quali $\alpha,\beta,\gamma$ soddisfino la trasformazione. A me risulta che sia rappresentata dalla matrice\[\begin{pmatrix} 2 & 0 &-1 \\-2&-2&1 \\ 2&2&0 \end{pmatrix}\]e, naturalmente, per quanto detto all'inizio, anche da ogni suo multiplo non nullo.
Spero di non aver detto scemenze.
Ciao!
Salve, lo stesso esercizio continua e chiede di trovare la controimmagine della conica
$\gamma'$ $:$ $x_1^2-x_2^2+x_3^2=0$
La prima parte l'ho risolta velocemente ma qui mi sono fermata. Trovare la controimmagine di un vettore è abbastanza semplice, ma di una conica? Passo a coordinate parametriche e trovo la controimmagine dei vettori in forma parametrica?
Aiuto!
Grazie in anticipo
$\gamma'$ $:$ $x_1^2-x_2^2+x_3^2=0$
La prima parte l'ho risolta velocemente ma qui mi sono fermata. Trovare la controimmagine di un vettore è abbastanza semplice, ma di una conica? Passo a coordinate parametriche e trovo la controimmagine dei vettori in forma parametrica?
Aiuto!
Grazie in anticipo
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