Determinare l'elemento neutro rispetto a un'operazione

[Magma1]

Buonasera, ho il seguente esercizio

Si ponga $G:={(a,b) in mathbb (R) xx mathbb (R) : a ne0}$ e si definisca sull'insieme G l'operazione binaria interna $**:GxxG rArr G$

ponendo $(a,b)**(alpha, beta):=(aalpha, a beta+b)$

(1) Si dica se tale operazione è associativa.
(2) Si dica se G ha elemento neutro rispetto a $**$
(3) Si dica se $(G, **)$ è un gruppo
(4) Se la risposta alla precedetne domanda è affermativa , si dica se $(G, **)$ è abeliano

Allora l'associatività l'ho risolta in questo modo (prima di tutto ho considerato i vettori colonna per comodità di calcolo):

Presi $( (a), (b) ),( (alpha), (beta) ) ,( (e), (f) ) in mathbb (R^2)$

$ [( (a), (b) )**( (alpha), (beta) )] **( (e), (f) )=( (a), (b) )**[( (alpha), (beta) ) **( (e), (f) )] $


$ ( (aalpha), (abeta+b) ) ** ( (e), (f) )=( (a), (b) ) ** ( (alphae), (alphaf+beta) ) $


$ ( (aalphae), (aalphaf+abeta+b) ) =( (aalphae), (a(alphaf+beta)) ) $

Però non riesco a completare l'esercizio perché non capisco come trovare l'elemento neutro $((e),(f))$ ??

[kobeilprofeta]

Cerco (e,f) t.c.
(a,b)*(e,f)=(a,b)=(e,f)*(a,b)
(a,b)*(e,f)=(ae,af+b)
(e,f)*(a,b)=(ae,be+f)
Mi serve (a,b)=(ae,af+b)=(ae,be+f)
Quindi:
a=ae, b=af+b, b=be+f
La prima mi dice e=1, messo nella terza:
b=b+f, cioè f=0

Elemento neutro: (1,0)

[Magma1]

"kobeilprofeta":
Cerco $((e),(f))$ t. c.

$((a),(b))*((e),(f))=((a),(b))=((e),(f))*((a),(b))$

$((a),(b))*((e),(f))=((ae),(af+b))$

$((e),(f))*((a),(b))=((ae),(be+f))$

Mi serve $((a),(b))=((ae),(af+b))=((ae),(be+f))$

Quindi:

${ ( a=ae ),( b=af+b ),( b=be+f ):}$

La prima mi dice $e=1$, messo nella terza:

$b=b+f$, cioè $f=0$

Elemento neutro: $((1),(0))$

Ottimo, grazie!