Determinare le quadriche

[Zerken]

Salve a tutti, sto diventando pazzo da qualche giorno nel cercare di capire come trovare l'equazione delle quadriche dei seguenti esercizi, qualcuno potrebbe aiutarmi magari spiegandomi i passaggi da fare? (sono due esercizi differenti, me ne basterebbe uno spiegato per poi provare a fare l'altro)

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Zerken":

A meno di moltiplicare tutto per una costante non nulla una tale quadrica dev'essere del tipo $x^2+y^2+xy+zf=0$ dove $f=f(x,y,z)$ ha grado $1$ (perché per definizione una quadrica è definita da un'equazione polinomiale di grado $2$ in $3$ incognite), ora ponendo $x=z$ e $y=0$ deve annullarsi (per ipotesi), quindi $x^2+xf(x,0,x)=0$, cioè $f(x,0,x)=-x$, e ponendo $x=0$ e $y=z$ deve annullarsi (per ipotesi), quindi $y^2+yf(0,y,y)=0$, cioè $f(0,y,y)=-y$. Adesso devi determinare $f(x,y,z)$. Sai continuare? Ricordati che $f$ deve avere grado $1$.