Determinare le f esistetenti
L'esercizio in se lo saprei fare se avessi 3 vettori con 3 componenti. Basterebbe prendere i vettori di partenza, metterli in matrice e vedere per quali valori di k il determinante risulta diverso da 0. In quel caso potrei dire che per i valori diversi da quelli esiste una unica F poiché quegli stessi vettori formano una base.
Poi dovrei sostituire i valori trovati per cui il determinante è 0 e controllare se la F risulta ancora lineare o meno.
In questo caso però, poiché non ho un sistema quadrato di vettori in partenza, come faccio a verificare tutto ciò? Procedo con la classica dimostrazione della lineare indipendenza? Oppure c'è un modo più rapido?
Risposte
Ciao.
Provo a risolvere il problema, però tieni conto che sono un po' arrugginito, quindi valuta se quello che scrivo possa servirti.
Si osservi che $dim mathcalL(w_1,w_2,w_3)=3 AA k in RR Rightarrow dim f_k=3 AA k in RR$, mentre:
$dim mathcalL(v_1,v_2,v_3)={(3, k!=1),(2, k=1):}$.
Dal teorema nullità più rango si dovrebbe avere:
$dim Ker (f_k)+dim f_k=dim mathcalL(v_1,v_2,v_3) Rightarrow dim Ker (f_k)+3=dim mathcalL(v_1,v_2,v_3)$
Quindi, per $k=1$ avremmo il risultato assurdo che $dim Ker (f_k)=-1$, mentre per tutti gli altri valori reali di $k$ si avrebbe $dim Ker (f_k)=0$ (quindi $f_k$ sarebbe iniettiva, cioè biiettiva, visto che dominio e codominio di $f_k$ sono costituiti dallo stesso spazio $V$).
Ora, supponendo $k!=1$, basterebbe porre $f_k(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3)=a_1w_1+a_2w_2+a_3w_3$
con $a_1,a_2,a_3$ da determinare (e presumibilmente dipendenti da $k!=1$).
Spero di esserti stato (almeno un po') utile.
Saluti.
Provo a risolvere il problema, però tieni conto che sono un po' arrugginito, quindi valuta se quello che scrivo possa servirti.
Si osservi che $dim mathcalL(w_1,w_2,w_3)=3 AA k in RR Rightarrow dim f_k=3 AA k in RR$, mentre:
$dim mathcalL(v_1,v_2,v_3)={(3, k!=1),(2, k=1):}$.
Dal teorema nullità più rango si dovrebbe avere:
$dim Ker (f_k)+dim f_k=dim mathcalL(v_1,v_2,v_3) Rightarrow dim Ker (f_k)+3=dim mathcalL(v_1,v_2,v_3)$
Quindi, per $k=1$ avremmo il risultato assurdo che $dim Ker (f_k)=-1$, mentre per tutti gli altri valori reali di $k$ si avrebbe $dim Ker (f_k)=0$ (quindi $f_k$ sarebbe iniettiva, cioè biiettiva, visto che dominio e codominio di $f_k$ sono costituiti dallo stesso spazio $V$).
Ora, supponendo $k!=1$, basterebbe porre $f_k(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3)=a_1w_1+a_2w_2+a_3w_3$
con $a_1,a_2,a_3$ da determinare (e presumibilmente dipendenti da $k!=1$).
Spero di esserti stato (almeno un po') utile.
Saluti.
Grazie mille! Tutto chiaro!
Avrei peró un altro problema su una tipologia di esercizio simile ma su un punto differente, in questo caso il punto B
Non riesco a determinare la f da B in B.
Nel senso che so che per ottenere questa matrice devo effettuare una moltiplicazione di matrici simile:
f da B in B=(matrice da E in B)*(matrice da E in E)*(matrice da B in E)
Il punto è che la matrice da E in B(ottenuta scrivendo i vettori della base canonica come comb lineare dei vettori di B), mi esce un sistema impossibile poiché ho 4 equazioni in 3 incognite con l'ultima equazione che non è del tipo 0=0 ma 0=numero.
Dove sbaglio?
Avrei peró un altro problema su una tipologia di esercizio simile ma su un punto differente, in questo caso il punto B
Non riesco a determinare la f da B in B.
Nel senso che so che per ottenere questa matrice devo effettuare una moltiplicazione di matrici simile:
f da B in B=(matrice da E in B)*(matrice da E in E)*(matrice da B in E)
Il punto è che la matrice da E in B(ottenuta scrivendo i vettori della base canonica come comb lineare dei vettori di B), mi esce un sistema impossibile poiché ho 4 equazioni in 3 incognite con l'ultima equazione che non è del tipo 0=0 ma 0=numero.
Dove sbaglio?
Ciao.
Per poter rispondere alla tua domanda, dovrei vedere come hai svolto l'esercizio.
Saluti.
Per poter rispondere alla tua domanda, dovrei vedere come hai svolto l'esercizio.
Saluti.
Questo è quello che ho fatto
Boh?
Comunque credo di aver trovato una discussione che potrebbe interessarti.
Al limite, se dovesse servire, proverò a fare un po' di conti.
Saluti.
Comunque credo di aver trovato una discussione che potrebbe interessarti.
Al limite, se dovesse servire, proverò a fare un po' di conti.
Saluti.
Mi spiace ma continuo a non capire. Nella discussione si parla di un semplice cambiamento di base. Ma qui invece mi chiede proprio di trovare la matrice associata alla funzione
Ciao.
Leggi attentamente la discussione: un po' più avanti si parla anche di matrici associate a endomorfismi, che è proprio il caso che ti interessa.
Saluti.
Leggi attentamente la discussione: un po' più avanti si parla anche di matrici associate a endomorfismi, che è proprio il caso che ti interessa.
Saluti.
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