Determinare le basi partendo dalla matrice

[Albymaster]

Ciao a tutti, da poco sto facendo esercizi sull'algebra lineare e mi trovo spiazzato da questo esercizio :

Si consideri l'omomorfismo $ f:R^3 rarr R^2 $ individuato, rispetto alle basi canoniche dalla matrice $ [ ( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , -2 ) ] $
Determinare una base per il dominio e una per il codominio tali che la matrice in tali basi sia
diagonale.

Io ho provato a iniziare a svolgerlo ma mi sono bloccato subito.Pensavo di scrivere i vettori verticali che compongono la matrice come combinazione lineare della base canonica del dominio, però essendo il dominio $ R^3 $ e il codominio $ R^2 $ mi blocco. Non so proprio come procedere, ho fatto vari tentativi ma nessuno coincide poi con la soluzione fornita dal professore.

Grazie a tutti per l'aiuto.

[billyballo2123]

Io non so in quanti modi si possa risolvere. Però io ne conosco uno. Come hai detto te, io inizierei a scrivere le matrici dei cambiamenti di base. Se la base di $\mathbb{R}^3$ che stiamo cercando è $\{v_1,v_2,v_3\}$, con
\[
v_1=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{bmatrix},
\quad
v_2=
\begin{bmatrix}
x_2 \\
y_2 \\
z_2
\end{bmatrix}
\quad
v_3=
\begin{bmatrix}
x_3 \\
y_3 \\
z_3
\end{bmatrix},
\]
e la base di $\mathbb{R}^2$ che stiamo cercando è $\{w_1,w_2\}$, con
\[
w_1=
\begin{bmatrix}
a_1 \\
b_1
\end{bmatrix},
\quad
v_2=
\begin{bmatrix}
a_2 \\
b_2
\end{bmatrix},
\]
allora la matrice che rappresenta l'omomorfismo rispetto a queste basi è
\[
\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
z_1 & z_2 & z_3
\end{bmatrix}
\].
Tenendo presente che le due basi sono costituite da vettori linearmente indipendenti, devi porre questa matrice sopra uguale alla matrice
\[
\begin{bmatrix}
\alpha & 0 & 0 \\
0 & \beta & 0
\end{bmatrix},
\]
dove $\alpha$ e $\beta$ possono essere qualunque cosa.

Sapendo che
\[
\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{bmatrix}^{-1}
=\frac{1}{a_1b_2-b_1a_2}
\begin{bmatrix}
b_2 & -a_2 \\
-b_1 & a_1
\end{bmatrix},
\]
(notare che essendo $\{w_1,w_2\}$ una base, $a_1b_2-b_1a_2\ne 0$) ottieni
\[
\frac{1}{a_1b_2-b_1a_2}
\begin{bmatrix}
b_2 & -a_2 \\
-b_1 & a_1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
z_1 & z_2 & z_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\alpha & 0 & 0 \\
0 & \beta & 0
\end{bmatrix},
\]
e moltiplicando tutto per $a_1b_2-b_1a_2$ arrivi a
\[
\begin{bmatrix}
b_2 & -a_2 \\
-b_1 & a_1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
z_1 & z_2 & z_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\tilde{\alpha} & 0 & 0 \\
0 & \tilde{\beta} & 0
\end{bmatrix}.
\]
Continua tu