Determinare la retta m per P parallela al piano Pgreco e ortogonale alla retta s.
Salve ragazzi volevo proporvi questo esercizio perchè su internet ne ho trovati simili ma non come questo, e non ho capito lo svolgimento, potete spiegarmi passaggio per passaggio, perchè questo esercizio potrebbe uscire all'esame che ho tra qualche giorno...
Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo tridimenzionale.
Assegnati:
il punto P (-1; 2; 1)
la retta r :
(sistema)
x = 2 - t
y = -1
z = t
la retta s :
(sistema)
x + z = 1
y + z = 0
e il piano Pgreco di equazione x + y - 2z = 1
Determinare la retta m per P parallela al piano Pgreco e ortogonale alla retta s.
Grazie in anticipo
Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo tridimenzionale.
Assegnati:
il punto P (-1; 2; 1)
la retta r :
(sistema)
x = 2 - t
y = -1
z = t
la retta s :
(sistema)
x + z = 1
y + z = 0
e il piano Pgreco di equazione x + y - 2z = 1
Determinare la retta m per P parallela al piano Pgreco e ortogonale alla retta s.
Grazie in anticipo
Risposte
La retta r per cosa è stata definita?
Comunque fissiamo come riferimento cartesiano una base ortonormale positiva $ {veci,vecj,veck} $ (oppure se preferisci puoi prendere la base canonica in $ RR^3 $).
La direzione della retta cercata sarà del tipo $ aveci+bvecj+cveck $ quindi come prima cosa dovendo essere parallela al piano $ x+y-2z=1 $ il prodotto scalare tra la normale al piano e $ aveci+bvecj+cveck $ dovrà essere 0.
Ottieni quindi che la direzione della retta cercata è del tipo $ aveci+(2c-a)vecj+cveck $.
Ora conviene scrivere la retta $ s $ in forma cartesiana, da cui ottieni che questa risulta essere parallela al vettore $ -veci-vecj+veck $ ; dovendo essere la retta m ortogonale alla retta s il prodotto scalare tra $ aveci+(2c-a)vecj+cveck $ e $ -veci-vecj+veck $ sarà uguale a 0.
Ottieni che la direzione della retta m è un vettore parallelo a $ veci-vecj $.
Quindi la retta m passante per p avrà equazione del tipo $ m={(x=1+t),(y=2-t),(z=1)} $.
Questo comunque è solo un modo per risolvere il tuo esercizio, le strade per arrivare alla soluzione possono essere molteplici.
Comunque fissiamo come riferimento cartesiano una base ortonormale positiva $ {veci,vecj,veck} $ (oppure se preferisci puoi prendere la base canonica in $ RR^3 $).
La direzione della retta cercata sarà del tipo $ aveci+bvecj+cveck $ quindi come prima cosa dovendo essere parallela al piano $ x+y-2z=1 $ il prodotto scalare tra la normale al piano e $ aveci+bvecj+cveck $ dovrà essere 0.
Ottieni quindi che la direzione della retta cercata è del tipo $ aveci+(2c-a)vecj+cveck $.
Ora conviene scrivere la retta $ s $ in forma cartesiana, da cui ottieni che questa risulta essere parallela al vettore $ -veci-vecj+veck $ ; dovendo essere la retta m ortogonale alla retta s il prodotto scalare tra $ aveci+(2c-a)vecj+cveck $ e $ -veci-vecj+veck $ sarà uguale a 0.
Ottieni che la direzione della retta m è un vettore parallelo a $ veci-vecj $.
Quindi la retta m passante per p avrà equazione del tipo $ m={(x=1+t),(y=2-t),(z=1)} $.
Questo comunque è solo un modo per risolvere il tuo esercizio, le strade per arrivare alla soluzione possono essere molteplici.
Ho capito il tuo procedimento, a me viene m=[(x=-1-t), (y=2-t), (z=1+t)]. Potresti ricontrollare il tuo risultato? O magari se è corretto postare solo i calcoli? Mi faresti un grande piacere
Il risultato mio è corretto apparte il fatto che x=-1+t. Per il resto si tratta solo di fare semplici calcoli prova a rifarli, se proprio non dovessero tornare posta i tuoi calcoli.
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