Determinare la matrice di un endomorfismo

[diegoves]

Salve ragazzi, ho un problema su questo esercizio, di cui nn ne son tanto sicuro sul risultato:
Dato l'endomorfismo f in R3:
f(v1) = f(1,-1,1) = (1,0,1)
f(v2) = f(0,1,1) = (2,0,3)
f(v3) = f(2,-1,2) = (-1,0,1)
Determinare la matrice di f sulla base canonica e3 (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)

L'idea mia è di trovare la combinazione lineare di v1, v2 e v3 per avere i vettori della base canonica, ovvero risolvere le tre equazioni:
(1,0,0) = a1*v1 + b1*v2 + c1*v3
(0,1,0) = a2*v1 + b2*v2 + c2*v3
(0,0,1) = a3*v1 + b3*v2 + c3*v3
I coefficienti che ho trovato sono:
a1=-3; b1=-1; c1=2
a2=-2; b2=0; c2=1
a3=2; b3=1; c3=-1
Inserendo i valori, essendo una funzione lineare, ottengo che:
f(1,0,0) = (-7,0,-4)
f(0,1,0) = (-3,0,-1)
f(0,0,1) = (-5,0,4)
Ora, dopo aver ottenuto questi dati, da cosa ricavo la matrice? La mia idea è che siano i coefficienti a, b, c incolonnati a comporre la matrice, ma non avendo le soluzioni dell'esercizio, non ne sono certo!
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!!!

[marco.bre]

Per definizione la matrice associata a $f$ rispetto alle basi canoniche ha per colonne le coordinate di $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$ rispetto alla base canonica (che quindi coincideranno con i vettori stessi). Quindi per trovare la matrice non devi far altro che mettere in colonna le immagini di $e_1$,$e_2$,$e_3$ che hai trovato.

[diegoves]

quindi la matrice associata è:
$ ( ( -7 , -3 , -5 ),( 0 , 0 , 0 ),( -4 , -1 , 4 ) ) $
giusto?
dei coefficienti a1 ecc ecc cosa posso farmene dopo?

[marco.bre]

Ok. I coefficienti $a_1,...$ ti sono serviti per calcolarti i $T(e_j)$...

[diegoves]

ok perfetto, grazie mille per l'aiuto!!!