Determinare la matrice associata rispetto alla base canonica
Ciao a tutti, tra pochi giorni avrò l'esame di geometria e mi trovo in difficoltà con questa tipologia di esercizio.
Il testo dice: Sia dato l'endomorfismo $ f: RR^(2,2)-> RR^(2,2)$ tale che $f(X)=AX+X^tA$ dove $A((6,\lambda),(1,3))$ con $ lambda in RR$
a) Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche
b) Determinare la matrice associata rispetto alla base canonica e alla base $((6,1),(0,0)),((1,0),(1,0)),((0,0),(0,1)),((0,3),(0,0))$
c) scrivere in maniera esplicita la $f$
So che la base canonica di $RR^(2,2)$ è ${((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))}$
Ho determinato le immagini delle matrici della base canonica per scrivere la matrice associata, ma ottengo, ovviemante, quattro matrici 2x2 e non so come continuare (sempre se il procedimento è corretto)
Per quanto riguarda il punto B non capisco perchè l'esercizio richieda di calcolare la matrice associata alla base canonica.
Il punto c invece non so cosa intenda per esplicitare
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Ringrazio in anticipo.
Il testo dice: Sia dato l'endomorfismo $ f: RR^(2,2)-> RR^(2,2)$ tale che $f(X)=AX+X^tA$ dove $A((6,\lambda),(1,3))$ con $ lambda in RR$
a) Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche
b) Determinare la matrice associata rispetto alla base canonica e alla base $((6,1),(0,0)),((1,0),(1,0)),((0,0),(0,1)),((0,3),(0,0))$
c) scrivere in maniera esplicita la $f$
So che la base canonica di $RR^(2,2)$ è ${((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))}$
Ho determinato le immagini delle matrici della base canonica per scrivere la matrice associata, ma ottengo, ovviemante, quattro matrici 2x2 e non so come continuare (sempre se il procedimento è corretto)
Per quanto riguarda il punto B non capisco perchè l'esercizio richieda di calcolare la matrice associata alla base canonica.
Il punto c invece non so cosa intenda per esplicitare
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Ringrazio in anticipo.
Risposte
Ciao! Anche io sto preparando l'esame di geometria, quindi non prometto nulla sulla correttezza dello svolgimento, ma ci provo! Speriamo che casomai sia sbagliato, qualcuno ci illumini.
Allora la matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a una base B di partenza e B' di arrivo è quella matrice che ha come colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo B' delle immagini tramite f dei vettori della base di partenza B.
Allora io ho proceduto in entrambi i casi con il metodo standard, quindi ho determinato le immagini dei vettori della base canonica:
$ f(v_3)= ( ( lambda + 1 , 3 ),( 3 , 0 ) ) $
$ f(v_3)= ( ( 0, lambda ),( 1 , 6 ) ) $
$ f(v_1)= ( ( 12 , lambda ),( 1 , 0 ) ) $
$ f(v_2)= ( ( 0 , 6 ),( 6 , lambda+1 ) ) $
L'esercizio richiede sia nel punto a che nel punto b che la base di partenza B sia la base canonica, quindi questi saranno gli unici trasformati da calcolare.
Per determinare la matrice associata bisogna incolonnare le coordinate di questi vettori rispetto alle basi richieste.
Il caso a è semplice perchè le coordinate rispetto alla base canonica sono gli elementi stessi, quindi la matrice associata dovrebbe essere
$ ( ( 12, 0, lamda +1 , 0 ),( lambda , 6 , 3 , lambda ),( 1 , 6 , 3 , 1 ),( 0 , lambda + 1 , 0 , 6 ) ) $
Seguendo lo stesso procedimento, che stavolta ha richiesto la soluzione di sistemi lineari per trovare le coordinate, mi viene che la matrice del punto b è:
$ ( ( 11/6, -1, lambda/6-1/3 , -1/6 ),( 1 , 6 , 3 , 1 ),( 0 , lambda + 1 , 0 , 6 ),( lambda/3-11/18 , 7/3 , 1-lambda/18-1/9 , lambda/3-1/18 ) ) $
Questa seconda è un po' bruttina, non so se magari c'è qualche errore di calcolo in giro, in ogni caso il procedimento credo e spero sia giusto.
Allora la matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a una base B di partenza e B' di arrivo è quella matrice che ha come colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo B' delle immagini tramite f dei vettori della base di partenza B.
Allora io ho proceduto in entrambi i casi con il metodo standard, quindi ho determinato le immagini dei vettori della base canonica:
$ f(v_3)= ( ( lambda + 1 , 3 ),( 3 , 0 ) ) $
$ f(v_3)= ( ( 0, lambda ),( 1 , 6 ) ) $
$ f(v_1)= ( ( 12 , lambda ),( 1 , 0 ) ) $
$ f(v_2)= ( ( 0 , 6 ),( 6 , lambda+1 ) ) $
L'esercizio richiede sia nel punto a che nel punto b che la base di partenza B sia la base canonica, quindi questi saranno gli unici trasformati da calcolare.
Per determinare la matrice associata bisogna incolonnare le coordinate di questi vettori rispetto alle basi richieste.
Il caso a è semplice perchè le coordinate rispetto alla base canonica sono gli elementi stessi, quindi la matrice associata dovrebbe essere
$ ( ( 12, 0, lamda +1 , 0 ),( lambda , 6 , 3 , lambda ),( 1 , 6 , 3 , 1 ),( 0 , lambda + 1 , 0 , 6 ) ) $
Seguendo lo stesso procedimento, che stavolta ha richiesto la soluzione di sistemi lineari per trovare le coordinate, mi viene che la matrice del punto b è:
$ ( ( 11/6, -1, lambda/6-1/3 , -1/6 ),( 1 , 6 , 3 , 1 ),( 0 , lambda + 1 , 0 , 6 ),( lambda/3-11/18 , 7/3 , 1-lambda/18-1/9 , lambda/3-1/18 ) ) $
Questa seconda è un po' bruttina, non so se magari c'è qualche errore di calcolo in giro, in ogni caso il procedimento credo e spero sia giusto.
Grazie mille sei stato gentilissimo. Ho svolto l'esercizio come da te descritto e abbiamo ottenuto gli stessi risultati. La matrice del punto b viene ''antipatica'' perchè il prof lascia matrici in cui devi mettere numeri corrispondeti alla lettera del tuo nome e cognome, per questo motivo è in quel modo.
Mi è sorto un altro dubbio. Magari tu sai aiutarmi.
Dovei calcolare una base dell'immagine. Una volta che trovo i vettori L.I. come devo scriverli? Perchè il codominio è $R^(2,2)$ quindi mi chiedevo se devo scriverli come matrici oppure se posso scriverli come vettori.
Mi è sorto un altro dubbio. Magari tu sai aiutarmi.
Dovei calcolare una base dell'immagine. Una volta che trovo i vettori L.I. come devo scriverli? Perchè il codominio è $R^(2,2)$ quindi mi chiedevo se devo scriverli come matrici oppure se posso scriverli come vettori.
E di che figurati, spero di poterti essere di aiuto di nuovo! 
Allora per quanto riguarda il calcolo dell'immagine di f io ho studiato la matrice associata A con Gauss (di nuovo sperando di non aver sbagliato i calcoli che ogni tanto erano un po' macchinosi) e ho trovato che la matrice ridotta S, con le condizioni che $ lambda != +- 1 $ ha rango 3 con 1,2,3 colonna linearmente indipendenti, e queste colonne quindi sono una base dell'immagine di S, mentre una base dell'immagine di A sono le stesse colonne però della matrice iniziale.
Studiando singolarmente i casi di $ lambda = +- 1 $, ho trovato in entrambi che la dimensione di S è sempre 3, con le prime tre colonne linearmente indipendenti nel caso $ lambda = 1 $ , nell'altro caso invece sono la 1, la 2 e la 4.
I risultati ottenuti come dicevi anche tu sono nello spazio delle coordinate dei vettori del nostro spazio vettoriale, e non in quello delle matrici. Sapendo che però l'applicazione che a uno spazio vettoriale qualsiasi V associa le coordinate dei vettori di v rispetto a una base è un isomorfismo, possiamo invertirla e trasporre i risultati ottenuti nello spazio vettoriale di partenza e trovare i vettori di $ M_2,_2 $ che hanno come coordinate i coefficienti delle colonne che ci interessano, ed essendo B la base canonica,i vettori di $ M_2,_2 $ ce li danno i coefficienti stessi.
In conclusione la cosa dovrebbe essere questa:
se $ lambda = -1 $ una base di Im(f) è formata da: $ ( ( 12 , -1 ),( 1 , 0 ) ) , ( ( 0 , 6 ),( 6 , 0 ) ) , ( ( 0 , -1 ),( 6 , 0 ) ) $
per tutti gli altri valori $ ( ( 12 , lambda ),( 1 , 0 ) ) , ( ( 0 , 6 ),( 6 , lambda+1 ) ) , ( ( lambda+1 , 3 ),( 3 , 0 ) ) $
Spero di essermi spiegato bene e di aver fatto tutto correttamente, questo è un argomento che sto studiando anche io adesso quindi potrei aver scritto cavolate. Dimmi anche tu che ne pensi e se credi che ci sia qualche errore in giro
Allora per quanto riguarda il calcolo dell'immagine di f io ho studiato la matrice associata A con Gauss (di nuovo sperando di non aver sbagliato i calcoli che ogni tanto erano un po' macchinosi) e ho trovato che la matrice ridotta S, con le condizioni che $ lambda != +- 1 $ ha rango 3 con 1,2,3 colonna linearmente indipendenti, e queste colonne quindi sono una base dell'immagine di S, mentre una base dell'immagine di A sono le stesse colonne però della matrice iniziale.
Studiando singolarmente i casi di $ lambda = +- 1 $, ho trovato in entrambi che la dimensione di S è sempre 3, con le prime tre colonne linearmente indipendenti nel caso $ lambda = 1 $ , nell'altro caso invece sono la 1, la 2 e la 4.
I risultati ottenuti come dicevi anche tu sono nello spazio delle coordinate dei vettori del nostro spazio vettoriale, e non in quello delle matrici. Sapendo che però l'applicazione che a uno spazio vettoriale qualsiasi V associa le coordinate dei vettori di v rispetto a una base è un isomorfismo, possiamo invertirla e trasporre i risultati ottenuti nello spazio vettoriale di partenza e trovare i vettori di $ M_2,_2 $ che hanno come coordinate i coefficienti delle colonne che ci interessano, ed essendo B la base canonica,i vettori di $ M_2,_2 $ ce li danno i coefficienti stessi.
In conclusione la cosa dovrebbe essere questa:
se $ lambda = -1 $ una base di Im(f) è formata da: $ ( ( 12 , -1 ),( 1 , 0 ) ) , ( ( 0 , 6 ),( 6 , 0 ) ) , ( ( 0 , -1 ),( 6 , 0 ) ) $
per tutti gli altri valori $ ( ( 12 , lambda ),( 1 , 0 ) ) , ( ( 0 , 6 ),( 6 , lambda+1 ) ) , ( ( lambda+1 , 3 ),( 3 , 0 ) ) $
Spero di essermi spiegato bene e di aver fatto tutto correttamente, questo è un argomento che sto studiando anche io adesso quindi potrei aver scritto cavolate. Dimmi anche tu che ne pensi e se credi che ci sia qualche errore in giro
Credo che sia corretto. Grazie per l'aiuto 
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