Determinare la matrice associata ad un endomorfismo secondo un riferimento
Determinare la matrice $ A $ associata all’endomorfismo $ f: R^3 -> R^3 $ tale che $ f(x, y, z) = (4x + 3y - 3z, 6x + y − 3z, 12x + 6y − 8z) $ nel riferimento $ R = (1, 0, 1),(0, 1, 0),(0, 0, 1) $.
Salve volevo sapere se i passaggi sono giusti:
- La matrice associata è $ A = R^-1 * B * R $
Dove $ B = ((4,3,-3),(6,1,-3),(12,6,-8)) $ ed $ R = ((1, 0, 1),(0, 1, 0),(0, 0, 1)) $
- Il $ det(R) = 1 $ quindi è invertibile poiché diverso da zero;
la matrice inversa la trovo con i sviluppi di Laplace e viene $ R = ((1, 0, -1),(0, 1, 0),(0, 0, 1)) $
A questo punto, avendo trovato l'inversa, applico la formula in alto
P.S. Ho un dubbio sulla trascrizione di B, non vorrei che abbia scritto la trasposta. Non sono riuscito a capire se gli elementi di un vettore li debba scrivere per riga o colonna.
Salve volevo sapere se i passaggi sono giusti:
- La matrice associata è $ A = R^-1 * B * R $
Dove $ B = ((4,3,-3),(6,1,-3),(12,6,-8)) $ ed $ R = ((1, 0, 1),(0, 1, 0),(0, 0, 1)) $
- Il $ det(R) = 1 $ quindi è invertibile poiché diverso da zero;
la matrice inversa la trovo con i sviluppi di Laplace e viene $ R = ((1, 0, -1),(0, 1, 0),(0, 0, 1)) $
A questo punto, avendo trovato l'inversa, applico la formula in alto
P.S. Ho un dubbio sulla trascrizione di B, non vorrei che abbia scritto la trasposta. Non sono riuscito a capire se gli elementi di un vettore li debba scrivere per riga o colonna.
Risposte
Ragioniamo più semplice.
Chiamiamo $b_i$ i vettori della “nuova” base $R$ ed $e_i$ i vettori della base canonica $E$; inoltre, chiamiamo $b_i^\prime$ il trasformato di $b_i$ secondo $f$.
Le coordinate dei $b_i^\prime$ rispetto ad $E$ (che denoto con un pedice $E$ fuori dalla parentesi) si calcolano sfruttando la legge di assegnazione di $f$ com’è data, sicché:
\[
\begin{split}
b_1^\prime &= (1, 3, 4)_E \\
b_2^\prime &= (3, 1, 6)_E \\
b_3^\prime &= (-3, -3, -8)_E
\end{split}
\]
e perciò:
\[
\begin{split}
b_1^\prime &= 1 e_1 + 3 e_2 + 4 e_3 \\
b_2^\prime &= 3 e_1 + 1 e_2 + 6 e_3 \\
b_3^\prime &= -3 e_1 - 3 e_2 - 8 e_3 \; .
\end{split}
\]
Ora, per trovare la matrice che ti interessa, bisogna esprimere i $b_i^\prime$ in coordinate rispetto ad $R$.
Per fare ciò, viste le ultime tre relazioni, ti basta sapere come si esprimono i vettori di $E$ rispetto ai vettori di $R$.
Ma ciò è molto semplice: infatti $b_2 = e_2$, $b_3 = e_3$ e $b_1 = e_1 + e_3 = e_1 + b_3$ da cui:
\[
\begin{split}
e_1 &= b_1 - b_3 \\
e_2 &= b_2 \\
e_3 &= b_3\; ;
\end{split}
\]
da ciò ricavi:
\[
\begin{split}
b_1^\prime &= 1 b_1 + 3 b_2 + 3 b_3 = (1, 3, 3)_R\\
b_2^\prime &= 3 b_1 + 1 b_2 + 3 b_3 = (3, 1, 3)_R \\
b_3^\prime &= -3 b_1 - 3 b_2 - 5 b_3 = (-3, -3, -5)_R
\end{split}
\]
(se non ho sbagliato i conti) e dunque la matrice associata ad $f$ rispetto ad $R$ (che si costruisce sempre mettendo le coordinate dei vettori trasformati come colonne) è $B= ( (1, 3, -3), (3, 1, -3), (3, 3, -5))$.
Chiamiamo $b_i$ i vettori della “nuova” base $R$ ed $e_i$ i vettori della base canonica $E$; inoltre, chiamiamo $b_i^\prime$ il trasformato di $b_i$ secondo $f$.
Le coordinate dei $b_i^\prime$ rispetto ad $E$ (che denoto con un pedice $E$ fuori dalla parentesi) si calcolano sfruttando la legge di assegnazione di $f$ com’è data, sicché:
\[
\begin{split}
b_1^\prime &= (1, 3, 4)_E \\
b_2^\prime &= (3, 1, 6)_E \\
b_3^\prime &= (-3, -3, -8)_E
\end{split}
\]
e perciò:
\[
\begin{split}
b_1^\prime &= 1 e_1 + 3 e_2 + 4 e_3 \\
b_2^\prime &= 3 e_1 + 1 e_2 + 6 e_3 \\
b_3^\prime &= -3 e_1 - 3 e_2 - 8 e_3 \; .
\end{split}
\]
Ora, per trovare la matrice che ti interessa, bisogna esprimere i $b_i^\prime$ in coordinate rispetto ad $R$.
Per fare ciò, viste le ultime tre relazioni, ti basta sapere come si esprimono i vettori di $E$ rispetto ai vettori di $R$.
Ma ciò è molto semplice: infatti $b_2 = e_2$, $b_3 = e_3$ e $b_1 = e_1 + e_3 = e_1 + b_3$ da cui:
\[
\begin{split}
e_1 &= b_1 - b_3 \\
e_2 &= b_2 \\
e_3 &= b_3\; ;
\end{split}
\]
da ciò ricavi:
\[
\begin{split}
b_1^\prime &= 1 b_1 + 3 b_2 + 3 b_3 = (1, 3, 3)_R\\
b_2^\prime &= 3 b_1 + 1 b_2 + 3 b_3 = (3, 1, 3)_R \\
b_3^\prime &= -3 b_1 - 3 b_2 - 5 b_3 = (-3, -3, -5)_R
\end{split}
\]
(se non ho sbagliato i conti) e dunque la matrice associata ad $f$ rispetto ad $R$ (che si costruisce sempre mettendo le coordinate dei vettori trasformati come colonne) è $B= ( (1, 3, -3), (3, 1, -3), (3, 3, -5))$.
Ho capito il tuo ragionamento, anche se c'è qualche errore di calcolo. Comunque non ho capito se questa è una versione alternativa alla mia, oppure ho sbagliato.
Il tuo metodo è corretto, ma prende troppo tempo.
Bisogna fare le cose più velocemente in un compito scritto: in generale, non puoi metterti a perder tempo calcolando un'inversa.
Chiaramente se sei in un caso "brutto" (in cui le relazioni tra le due basi non sono evidenti) devi per forza passare di lì, ma quando puoi farne a meno, fallo.
In generale, sai che la matrice $B=B_{R_1,R_2}$ associata ad un'applicazione lineare $f$ rispetto ad una coppia di basi $R_1=\{ b_i\}$ (nel dominio) ed $R_2=\{ c_j\}$ (nel codominio) si ottiene prendendo come colonne le coordinate rispetto ad $R_2$ dei vettori $b_i^\prime = f(b_i)$.
Quindi, se codominio=dominio e $R_2=R_1=R$, tutto il lavoro per trovare $B$ sta nel trovare come si esprimono i vettori $b_i^\prime$ in coordinate rispetto a $R$... Il che usualmente è un compito meno gravoso negli esercizi rispetto a calcolare matrici inverse.
Bisogna fare le cose più velocemente in un compito scritto: in generale, non puoi metterti a perder tempo calcolando un'inversa.
Chiaramente se sei in un caso "brutto" (in cui le relazioni tra le due basi non sono evidenti) devi per forza passare di lì, ma quando puoi farne a meno, fallo.
In generale, sai che la matrice $B=B_{R_1,R_2}$ associata ad un'applicazione lineare $f$ rispetto ad una coppia di basi $R_1=\{ b_i\}$ (nel dominio) ed $R_2=\{ c_j\}$ (nel codominio) si ottiene prendendo come colonne le coordinate rispetto ad $R_2$ dei vettori $b_i^\prime = f(b_i)$.
Quindi, se codominio=dominio e $R_2=R_1=R$, tutto il lavoro per trovare $B$ sta nel trovare come si esprimono i vettori $b_i^\prime$ in coordinate rispetto a $R$... Il che usualmente è un compito meno gravoso negli esercizi rispetto a calcolare matrici inverse.
Va bene mi è tutto chiaro, grazie per la pazienza! 
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