Determinare la equazione di una conica

[Hornet345]

Ciao,
Ho il seguente esercizio:

Determinare l'equazione della conica tangente alla retta $ x-y-1=0 $ in $ (2,1) $ e passante per i punti $ P_1(-1,0) \ P_2(0,3) \ P_3(0,-3) $

Sono partito dalla definizione per ottenere l'equazione $ [(x-c)^2 + y^2]/[(x-h)^2]=e^2 $ dove il fuoco è $ F=(c,0) $ e la direttrice ha equazione $ x-h =0 $

Poi impongo il passaggio per 3 punti.

Da qui non so come andare avanti...

[massimoaa]

Il punto A(2,1) conta per due perchè hai la tangente in esso. Avendo 5 punti disponibili, l'esercizio diventa
di base. Con i punti $A,A,P_1,P_2$ puoi costruire due coniche degeneri ( ovvero ciascuna spezzata in due rette)
le cui equazioni sono:
$(A A)*(P_1P_2)=0$ e $(AP_1)*(AP_2)=0$
e quindi l'equazione del fascio di coniche determinato da queste due è:
$\lambda((A A)*(P_1P_2))+\mu((AP_1)*(AP_2))=0$
Facendo i relativi calcoli trovi l'equazione :
(A) $\lambda(x-y-1)(3x-y+3)+\mu(x-3y+1)(x+y-3)=0$
Imponendo il passaggio per $P_3(0,-3)$ trovi $\lambda=5\mu$
Ponendo, ad esempio, $\lambda=5,\mu=1$ e sostituendo nella (A), con qualche calcolo, trovi l'equazione della conica:
$8x^2-11xy+y^2-x-9=0$
P.S. Controlla i vari calcoli. Potrei averne sbagliato qualcuno, anche se il procedimento risolutivo resta quello.