Determinare la dimensione esibendo una base.
Nello spazio vettoriale euclideo $R^3$, munito del prodotto scalare standard, provare che il sottoinsieme:
$W={(a,b,c) ''in'' R^3:}$
1) dire se è sottospazio di $R^3$
Sì, è sottospazio di $R^3$ poichè $c$ è combinazione lineare di $a+b$
2) Determinare la dimensione.
$Dim=2$
3)Esibire una base.
$B=L((1,1,2),(0,1,1))$
Va bene secondo voi?
$W={(a,b,c) ''in'' R^3:
1) dire se è sottospazio di $R^3$
Sì, è sottospazio di $R^3$ poichè $c$ è combinazione lineare di $a+b$
2) Determinare la dimensione.
$Dim=2$
3)Esibire una base.
$B=L((1,1,2),(0,1,1))$
Va bene secondo voi?
Risposte
up
la giustificazione di 1) non ha senso, non vuol dire niente.
2) è giusto ma non dici perchè.
3) è giusto anche se scritto molto male, e comunque non c'è una motivazione.
2) è giusto ma non dici perchè.
3) è giusto anche se scritto molto male, e comunque non c'è una motivazione.
Direi di sì. Credo però che al punto (1) sia necessaria qualche argomentazione in più: che vuol dire "c è combinazione lineare di a+b"? Il concetto di combinazione lineare ha senso tra vettori non tra coordinate, sbaglio?
P.S.: scusate, qualcuno aveva già risposto
P.S.: scusate, qualcuno aveva già risposto
"blackbishop13":
la giustificazione di 1) non ha senso, non vuol dire niente.
in effetti hai ragione.
dalla teoria $W$ per essere un sottospazio vettoriale di $R^3$ se:
1. $a+b-c \in R^3$ va bene perchè $a+b-c=0$ uguale al vettore nullo che appartiene ad $R^3$
2. $alpha*a \in R^3$ per ogni $alpha \in R$
dunque è un sottospazio di $R^3$
per il 2) ha $dim=2$ perchè sono $2$ le colonne o righe linearmente indipendenti.
per la 3) si prendono i vettori L.I, e se prendo una matrice quale la:
$((1,0,1),(1,1,0),(2,1,1))$
prendo le prime due colonne $B=L(1,1,2),(0,1,1)$
non so se va meglio o peggio, che ne dite?
Sinceramente continuo a non capire bene cosa fai. Ti dico come svolgerei io l'esercizio.
(1) Siano $\vec v = (x,y,x+y)$ e $\vec w = (a,b,a+b)$ nel nostro inseme $W$. Si ha $\vec v +\vec w = (x+a,y+b,x+y+a+b) \in W$. Inoltre sia $\alpha \in RR $ e $\vec v \in W$ allora $\alpha\vec v = (\alphax,\alphay,\alpha(x+y)) \in W$ Quindi $W$ è un sottospazio di $RR^3$
(2) Lo spazio W ha dimensione 2 perché dato un generico vettore $\vec w = (x,y,z) \in W$ per determinarlo univocamente sono necessarie e sufficienti 2 coordinate ( in questo caso $x$ e $y$)
(3)Per trovare una base bastano due vetori linearmente indipendenti di $W$: basta prendere $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$ che sono evidentemente indipendenti e appartengono a $W$.
(1) Siano $\vec v = (x,y,x+y)$ e $\vec w = (a,b,a+b)$ nel nostro inseme $W$. Si ha $\vec v +\vec w = (x+a,y+b,x+y+a+b) \in W$. Inoltre sia $\alpha \in RR $ e $\vec v \in W$ allora $\alpha\vec v = (\alphax,\alphay,\alpha(x+y)) \in W$ Quindi $W$ è un sottospazio di $RR^3$
(2) Lo spazio W ha dimensione 2 perché dato un generico vettore $\vec w = (x,y,z) \in W$ per determinarlo univocamente sono necessarie e sufficienti 2 coordinate ( in questo caso $x$ e $y$)
(3)Per trovare una base bastano due vetori linearmente indipendenti di $W$: basta prendere $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$ che sono evidentemente indipendenti e appartengono a $W$.
"Ale_":
Sinceramente continuo a non capire bene cosa fai. Ti dico come svolgerei io l'esercizio.
(1) Siano $\vec v = (x,y,x+y)$ e $\vec w = (a,b,a+b)$ nel nostro inseme $W$. Si ha $\vec v +\vec w = (x+a,y+b,x+y+a+b) \in W$. Inoltre sia $\alpha \in RR $ e $\vec v \in W$ allora $\alpha\vec v = (\alphax,\alphay,\alpha(x+y)) \in W$ Quindi $W$ è un sottospazio di $RR^3$
(2) Lo spazio W ha dimensione 2 perché dato un generico vettore $\vec w = (x,y,z) \in W$ per determinarlo univocamente sono necessarie e sufficienti 2 coordinate ( in questo caso $x$ e $y$)
(3)Per trovare una base bastano due vetori linearmente indipendenti di $W$: basta prendere $(1,0,1)$ e $(0,1,1)$ che sono evidentemente indipendenti e appartengono a $W$.
Credo vada bene, però non so se il mio prof vuole vedere tutti questi 'vettori' :S
per la dimensione posso dire che $(a,b,a+b)$ e dipende da due parametri $a$ e $b$, che tu chiami coordinate in quanto tu hai scelto il vettore $\vec w$?
occhio Ale_, devi anche verificare che il vettore nullo appartiene all'insieme per dimostrare che è effettivamente un sottospazio.
clever mi sembri sempre molto confuso, usi notazioni buffe, che fanno venire un saco di dubbi.
ad esempio, cos'è una base? da come scrivi non si capisce proprio che tu ce l'abbia chiaro.
clever mi sembri sempre molto confuso, usi notazioni buffe, che fanno venire un saco di dubbi.
ad esempio, cos'è una base? da come scrivi non si capisce proprio che tu ce l'abbia chiaro.
"blackbishop13":
occhio Ale_, devi anche verificare che il vettore nullo appartiene all'insieme per dimostrare che è effettivamente un sottospazio.
In realtà dovrebbe bastare quel che ho detto, infatti se $\vec v \in W$ anche $-\vec v \in W$ quindi $\vec 0 \in W$
devi comunque mostrare che è non-vuoto 
Accidenti! Giusto! Chiedo umilmente perdono 
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