Determinare la dimensione del sottospazio S
Ho 5 vettori:
$a_1=(0,1,-1,1)$
$a_2=(0,1,1,1)$
$a_3=(1,0,0,0)$
$a_4=(1,2,0,2)$
$a_5=(0,4,0,4)$
il sistema $S=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ costituisce una base in $R^4$?
no, perchè i vettori sono 5 al massimo ne sono 4.
(qui sono dubbioso, non riesco a capire come e quando un sistema costituisce una base)
il sistema genera $R^4$? no.
trovare la dimensione del sottospazio $S$ generato dal sistema $S$
Io penso di usare la riduzione a gradini, vedere il numero di vettori linearmente indipendenti, e quindi la dimensione c'è fornita dal rang trovato dal numero di pivot.
trova una sua base.
prendere quindi i vettori linearmente indipendenti trovati e metterli a base.
L'ultima domanda mi è un pò strana: ''trovare un sottospazio ad esso supplementare''.
Cosa si intende per ciò?
$a_1=(0,1,-1,1)$
$a_2=(0,1,1,1)$
$a_3=(1,0,0,0)$
$a_4=(1,2,0,2)$
$a_5=(0,4,0,4)$
il sistema $S=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ costituisce una base in $R^4$?
no, perchè i vettori sono 5 al massimo ne sono 4.
(qui sono dubbioso, non riesco a capire come e quando un sistema costituisce una base)
il sistema genera $R^4$? no.
trovare la dimensione del sottospazio $S$ generato dal sistema $S$
Io penso di usare la riduzione a gradini, vedere il numero di vettori linearmente indipendenti, e quindi la dimensione c'è fornita dal rang trovato dal numero di pivot.
trova una sua base.
prendere quindi i vettori linearmente indipendenti trovati e metterli a base.
L'ultima domanda mi è un pò strana: ''trovare un sottospazio ad esso supplementare''.
Cosa si intende per ciò?
Risposte
un insieme di vettori linearmente indipendente, che genera lo spazio $V$ è una base. Uno spazio $V$ ha dimensione $n$ se la base è formata da $n$ vettori.
Tieni presente, dal teorema della dimensione, che $n$ è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti, e che ogni altra base di $V$ ha esattamente $n$ vettori.
perchè il sistema non genera $RR^4$? Sei sicura di ciò?
l'idea di generatori e di base è differente e non è detto che se i vettori non sono una base non possa essere dei generatori. Devi provare che è così, o che non lo è, prendendo un generico vettore di $RR^4$ e provandolo a scrivere come combinazione lineare di tutti i tuoi vettori.
Se questi poi sono un insieme di generatori, è possibile da essi estrarre una base eliminando i vettori linearmente dipendente.
Quanto al supplementare è semplice-non è che ti mancano un pò di nozioni teoriche?-
Se $V$ è uno spazio vettoriale e $U$ è un suo sottospazio, $W$ si dice supplementare di $U$ se e solo se $UoplusW=V$, e sussiste un teorema che ci garantisce, per ogni spazio l'esistenza di un supplementare.
Tieni presente, dal teorema della dimensione, che $n$ è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti, e che ogni altra base di $V$ ha esattamente $n$ vettori.
perchè il sistema non genera $RR^4$? Sei sicura di ciò?
l'idea di generatori e di base è differente e non è detto che se i vettori non sono una base non possa essere dei generatori. Devi provare che è così, o che non lo è, prendendo un generico vettore di $RR^4$ e provandolo a scrivere come combinazione lineare di tutti i tuoi vettori.
Se questi poi sono un insieme di generatori, è possibile da essi estrarre una base eliminando i vettori linearmente dipendente.
Quanto al supplementare è semplice-non è che ti mancano un pò di nozioni teoriche?-
Se $V$ è uno spazio vettoriale e $U$ è un suo sottospazio, $W$ si dice supplementare di $U$ se e solo se $UoplusW=V$, e sussiste un teorema che ci garantisce, per ogni spazio l'esistenza di un supplementare.
Sai perchè ho risposto no alla domanda ''il sistema genera $R^4$?
Perche dice ''se il sistema non genera $R^4$ allora trovare la dimensione del sottospazio...
C'è a risposta negativa io avrei dovuto continuare a risolvere.
Quindi per la prima domanda, io dovrei fare la riduzione a gradini percaso?
Perche dice ''se il sistema non genera $R^4$ allora trovare la dimensione del sottospazio...
C'è a risposta negativa io avrei dovuto continuare a risolvere.
Quindi per la prima domanda, io dovrei fare la riduzione a gradini percaso?
Si ma in genere una risposta senza dimostrazione ha un valore pressochè nullo... per vedere (e dimostrare) se lo spazio genera o meno $RR^4$ ti basta studiare il rango della matrice che ha quei vettori per righe. Se il rango è uguale a $4$, questa è anche la dimensione dello spazio che generano che quindi è proprio $RR^4$, viceversa no.
Tra l'altro, come corollario hai anche la risposta al terzo quesito...
Tra l'altro, come corollario hai anche la risposta al terzo quesito...
Qualsiasi cosa che ti mostri quali vettori sono linearmente dipendenti... e sicuramente ci sono (almeno uno), in quanto un sottospazio di $RR^4$ ha al più dimensione $4$
Grazie dei vostri aiuti, cerco di svolgerlo (se riesco) e posto i miei svolgimenti.
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