Determinare la dimensione del sottospazio generato

[sili921]

Ciao,

L'esercizio chiede di determinare una base e la dimensione del sottospazio generato da i vettori dati:

Esempio $ (1,3,0) (-1,1,0) in R^3 $

Quindi io aggiungo $ (0,0,1) $ vettore della base canonica di $ R^3 $ e controllo la lineare indipendenza.

mi viene lineare indipendente, base trovata. (giusto?)

Ora cosa vuol dire determina la dimensione del sottospazio? Non è 3 perche siamo in $ R^3 $

Grazie!

[Emar1]

No aspetta, hai fatto un po' di confusione. La dimensione di uno (sotto-)spazio è la cardinalità della base, in parole povere il numero di elementi di una base. Dato che la base, per definizione, è il massimo numero di generatori linearmente indipendenti, si può dire che la dimensione di uno spazio è il massimo numero dei generatori linearmente indipendenti.

A te sono stati dati due generatori. Perché ci aggiungi un terzo vettore? Basta semplicemente trovare il massimo numero di vettori linearmente indipendenti tra quelli dati, ovvero quei due.

Un sottospazio ha dimensione minore o uguale allo spazio a cui appartiene sennò non si chiamerebbe sottospazio

[sili921]

Quindi fondamentalmente trovata la lineare indipendenza ho trovato una base che genera un sottospazio di $ R^3 $ di dimensione 2. Fine?

[Emar1]

Esatto, poiché i due vettori risultano linearmente indipendenti essi generano un sottospazio di $\mathbb{R}^3$ di dimensione $2$. Per capirci, se fossero stati linearmente dipendenti la dimensione del sottospazio generato sarebbe stata $1$.

[minomic]

La cosa di aggiungere un vettore si fa di solito quando l'esercizio chiede di completare la base del sottospazio a base di $RR^3$. In questo caso si prende un altro vettore (tipicamente dalla base canonica per semplicità), si verifica che sia linearmente indipendente dagli altri due e si conclude che quella è una base di $RR^3$.

[sili921]

Grazie mille!