Determinare la base partendo da un sistema lineare omogeneo
Ciao a tutti ragazzi avrei un dubbio riguardo la seguente situazione, esempio:
Dato il seguente sottospazio di $ R^4 $ :
$ W:{ ( x1+x2-x3=0 ),( x2-x3+x4=0 ):} $
Determinare una dimensione e una base per W.
So che per trovare una base per W basterebbe risolvere il sistema omogeneo e prendere l'insieme delle soluzioni come base, tuttavia mi chiedevo se fosse possibile procedere nel modo seguente: sapendo che la dimensione di W è data da 4 (dimensione di R) - 2 (codimensione di W) = 2 ed essendo le due equazioni cartesiane linearmente indipendenti una base di W può essere :
$ B(w)={w1=( (1), (1),(-1),(0) ) , w2=( (0), (1), (-1), (1) ) } $
E se quello che ho detto è lecito potrei procedere in questo modo ogni volta che si parte da un sottospazio definito come un sistema lineare omogeneo? Magari aggiungendo vettori linearmente indipendenti (presi dalla base canonica) o togliendoli a seconda della dimensione che deve avere la base?
Dato il seguente sottospazio di $ R^4 $ :
$ W:{ ( x1+x2-x3=0 ),( x2-x3+x4=0 ):} $
Determinare una dimensione e una base per W.
So che per trovare una base per W basterebbe risolvere il sistema omogeneo e prendere l'insieme delle soluzioni come base, tuttavia mi chiedevo se fosse possibile procedere nel modo seguente: sapendo che la dimensione di W è data da 4 (dimensione di R) - 2 (codimensione di W) = 2 ed essendo le due equazioni cartesiane linearmente indipendenti una base di W può essere :
$ B(w)={w1=( (1), (1),(-1),(0) ) , w2=( (0), (1), (-1), (1) ) } $
E se quello che ho detto è lecito potrei procedere in questo modo ogni volta che si parte da un sottospazio definito come un sistema lineare omogeneo? Magari aggiungendo vettori linearmente indipendenti (presi dalla base canonica) o togliendoli a seconda della dimensione che deve avere la base?
Risposte
Nessuno può chiarirmi questo dubbio? 
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