Determinare la base di un sottospazio

[Kociss1]

Ciao a tutti, sono incappato in questo esercizio: Sia U il sottospazio di equazioni x - y + z = 0, t = 0 . Determinarne una base. Come soluzione dà i due vettori (1,1,0,0) e (-1, 0, 1, 0). Come arriva a questo risultato visto che le due equazioni sono già linearmente indipendenti? In questi esercizi ho sempre applicato l'eliminazione di Gauss al sistema per trovare appunto, un sistema di generatori linearmente indipendente, ma in questo caso questo metodo non porta al risultato, perchè?

[Fabiobreo]

Il sottospazio è del tipo (x,y,z,t). Le equazioni che ti danno ti permettono di calcolartelo, cioè ti dicono che t=0 e che x=y-z. A questo punto sostituisci nella prima e ti trovi: (y-z, y, z, 0). Poni y=1,z=0 e ti trovi (1,1,0,0); poni y=0,z=1 e ti trovi (-1,0,1,0). Ecco qui i tuoi generatori

[Kociss1]

Grazie! Ma la scelta di ricavare x in funzione di y e z invece che, per esempio, y in funzione di x e z è arbitraria?
Se avessi cioè considerato y= x + z e da qui mi fossi ricavato il vettore (1, 1, 0, 0) per x=1 e z=0, e poi (0, 1, 1, 0) per x=0 e z=1, il mio sistema di generatori sarebbe stato equivalente, giusto?

[Fabiobreo]

Certamente