Determinare kerf e imf

[Makkia992]

Salve a tutti!
Scusate la domanda parecchio banale, ma l'esame di algebra si avvicina e la mia paura che vada male aumenta
Ho un esercizio tratto dalle prove scritte degli anni precedenti, che riguarda il calcolo dell'immagine di un'applicazione lineare.
Ad esempio, data l'applicazione lineare

[tex]f:V->V[/tex]

Tale che
[tex]f(e1): 5e2+e3[/tex]
[tex]f(e2): e1+e2+e3[/tex]
[tex]f(e3): e1+3e2-2e3[/tex]

studiare kerf e imf.

Per quanto riguarda il calcolo di kerf, io scrivo prima la matrice:

[tex]5 1 1[/tex]
[tex]0 1 1[/tex]
[tex]1 3 -2[/tex]

poi, basandomi sulla formula

[tex]kerf: AX=(0)[/tex]

faccio il sistema

[tex]5x+y+z=0[/tex]
[tex]y+z=0[/tex]
[tex]x+3y-2z=0[/tex]

e risolvendolo, calcolo kerf.

per calcolare l'immagine, invece, io faccio così (ma sicuramente sbaglio)

[tex]imf= L(f(e1)+f(e2)+f(e3)][/tex]

e poi sostituisco! ma è giusto il procedimento che uso? sono sicura di aver sbagliato/mancato qualcosa!

[_prime_number]

La matrice corretta è
$((0,1,1),(5,1,3),(1,1,-2))$
Infatti la colonna $k$-esima deve essere $f(e_k)$ (rispetto alla base canonica in questo caso).
Il calcolo del $Ker$, matrice a parte, è impostato bene.
Per quanto riguarda l'immagine, le colonne di $A$ sono un suo sistema di generatori. Calcolando $rank(A)$ riesci a selezionare quelli linearmente indipendenti e ad ottenere una base.

Paola