Determinare Immagine di un applicazione

[Danying]

Salve , vorrei capire un passaggio riguardante un esercizio di algebra lineare , insieme a voi ;

Dato $V= {(x, y, z) ∈ R 3 | x + y − z = 0} $ , determinare $f(V)$ al variare di $h ∈ R$, specificandone in
ciascun caso la dimensione.
abbiamo:


$( ( 2-h , 3-h , 2h-2 ),( 0 , -1 ,0 ),( 1-h , 1-h , 2h-1 ) ) * ((1),(1),(1)) = ((3),(-1),(1)) $

$( ( 2-h , 3-h , 2h-2 ),( 0 , -1 ,0 ),( 1-h , 1-h , 2h-1 ) ) * ((1),(0),(1)) =((h),(0),(h)) $


$( ( 2-h , 3-h , 2h-2 ),( 0 , -1 ,0 ),( 1-h , 1-h , 2h-1 ) ) * ((0),(-1),(-1)) =((-h-1),(1),(h)) $

così

$ (x, y, z) = a(1, 1, 1) + b(1, 0, 1) + c(0, −1, −1) \Rightarrow {(a + b = x),(a − c = y),(a + b − c = z):} \Rightarrow {(a = x + y − z),(b = −y + z),(c = x − z):} $

Otteniamo

otteniamo $ [(x, y, z)]A = (x + y − z, −y + z, x − z) $

Fino a qua tutto abbastanza chiaro ;
L'esercizio conclude poi con

$[ f (1, 1, 1)]A = [(3, −1, 1)]A = (1, 2, 2) $
$[ f (1, 0, 1)]A = [(h, 0, h)]A = (0, h, 0)$
$[ f (0, −1, −1)]A = [(−h − 1, 1, −h)]A = (0, −h − 1, −1).$

Non ho capito come trova i vettori ( 1,2,2 ) , (h,0,h) ed (0, −h − 1, −1)


Grazie per gli eventuali chiarimenti

[Danying]

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