Determinare il polo della retta
Salve, sono alle prese con un esercizio che dà l'equazione della conica : $x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-5x_1x_3+7x_2x_3$
Ovviamente trovo che è un ellisse.
Un punto dell'esercizio mi dice di calcolare il polo P della retta di equazione $(1+i)x_1+(-2+i)x_2+(-7+2i)x_3=0$
Io ho trovato due punti sulla retta imponendo una volta $x_3=0$ e una volta $x_2=0$ ho trovato le rette polari di questi punti e le ho intersecate ma non mi trovo con il risultato. A me viene $(i+1,+2,0)$ invece di $(i,-1+i,0)$
Grazie per l'aiuto
Ovviamente trovo che è un ellisse.
Un punto dell'esercizio mi dice di calcolare il polo P della retta di equazione $(1+i)x_1+(-2+i)x_2+(-7+2i)x_3=0$
Io ho trovato due punti sulla retta imponendo una volta $x_3=0$ e una volta $x_2=0$ ho trovato le rette polari di questi punti e le ho intersecate ma non mi trovo con il risultato. A me viene $(i+1,+2,0)$ invece di $(i,-1+i,0)$
Grazie per l'aiuto
Risposte
Il calcolo dovrebbe essere questo.
data la conica Q,
scelgo i due punti:
$A-=(2-i,1+i,0)$ e $B-=(7-2i,0,1+i)$
calcolo le polari:
$P_A(Q) : (x_1,x_2,x_3)((2,-1,-5),(-1,2,7),(-5,7,2))((2-i),(1+i),(0))=0$
$P_B(Q) : (x_1,x_2,x_3)((2,-1,-5),(-1,2,7),(-5,7,2))((7-2i),(0),(1+i))=0$
e ottengo il sistema
$\{((4-2i-1-i)x_1 + (-2+i+2+2i)x_2 + (-10+5i+7+7i)x_3 = 0),((14-4i-5-5i)x_1 + (-7+2i+7+7i)x_2 + (-35+10i+2+2i)x_3 = 0):}$
ovvero, sommando i termini nelle parentesi e dividendo la prima per $3/2$ e la seconda per $9$
$\{((1-i)x_1 + ix_2 + (-1+4i)x_3 = 0),((1-i)x_1 + ix_2 + (-11/3+4/3i)x_3 = 0):}$
ottenendo la soluzione $P-=(i,-1+i,0)$
data la conica Q,
scelgo i due punti:
$A-=(2-i,1+i,0)$ e $B-=(7-2i,0,1+i)$
calcolo le polari:
$P_A(Q) : (x_1,x_2,x_3)((2,-1,-5),(-1,2,7),(-5,7,2))((2-i),(1+i),(0))=0$
$P_B(Q) : (x_1,x_2,x_3)((2,-1,-5),(-1,2,7),(-5,7,2))((7-2i),(0),(1+i))=0$
e ottengo il sistema
$\{((4-2i-1-i)x_1 + (-2+i+2+2i)x_2 + (-10+5i+7+7i)x_3 = 0),((14-4i-5-5i)x_1 + (-7+2i+7+7i)x_2 + (-35+10i+2+2i)x_3 = 0):}$
ovvero, sommando i termini nelle parentesi e dividendo la prima per $3/2$ e la seconda per $9$
$\{((1-i)x_1 + ix_2 + (-1+4i)x_3 = 0),((1-i)x_1 + ix_2 + (-11/3+4/3i)x_3 = 0):}$
ottenendo la soluzione $P-=(i,-1+i,0)$
Grazie per la risposta ma... io mi trovo precisamente con tutti i passaggi tranne nel risultato ... immagino tu non abbia fatto l'intersezione delle due retta ma hai trascritto il risultato esatto perchè ti trovi come me ovvero $(i+1,2,0)$
Si, scusa; effettivamente non ho concluso con tutti i passaggi.
Per l'intersezione ho sottratto le due equazioni, in modo da eliminare $x_1$ e $x_2$. Così ho trovato $x_3 = 0$ e poi ho sostituito in una delle due (per esempio la prima), ottenendo
$(-1+i)x_1=ix_2$
e scegliendo come soluzione (ricordo che la soluzione è a meno di un fattore di proporzionalità, trovandoci in $bbb"P"^2$) $x_1 = i$ e $x_2=(-1+i)$
Per l'intersezione ho sottratto le due equazioni, in modo da eliminare $x_1$ e $x_2$. Così ho trovato $x_3 = 0$ e poi ho sostituito in una delle due (per esempio la prima), ottenendo
$(-1+i)x_1=ix_2$
e scegliendo come soluzione (ricordo che la soluzione è a meno di un fattore di proporzionalità, trovandoci in $bbb"P"^2$) $x_1 = i$ e $x_2=(-1+i)$
Ti ringrazio per il chiarimento e effettivamente mi trovo con il tuo passaggio, ma mi trovo anche con il mio.. ora te lo mostro:
Allora abbiamo le rette
1:$(1-i)x_1+ix_2+(-11/3+4/3i)x_3$
2:$(1-i)x_1+ix_2+(-1+4i)x_3$
Ora io per trovarmi la soluzione pongo questo sistema
$x_1$ $x_2$ $x_3$
$|(1-i),$ $i,$ $-11+4i |$
$|(1-i),$ $i,$ $-1+4i |$
$x_1=i(-1+4i)-i(-11+4i)$
$-x_2=(1-i)(-1+4i)-(1-i)(-11+4i)$
$x_3=...=0$
Spero si capisca. Io sapevo andasse fatto così ma non mi trovo con il risulato e non penso stia sbagliando i conti
Allora abbiamo le rette
1:$(1-i)x_1+ix_2+(-11/3+4/3i)x_3$
2:$(1-i)x_1+ix_2+(-1+4i)x_3$
Ora io per trovarmi la soluzione pongo questo sistema
$x_1$ $x_2$ $x_3$
$|(1-i),$ $i,$ $-11+4i |$
$|(1-i),$ $i,$ $-1+4i |$
$x_1=i(-1+4i)-i(-11+4i)$
$-x_2=(1-i)(-1+4i)-(1-i)(-11+4i)$
$x_3=...=0$
Spero si capisca. Io sapevo andasse fatto così ma non mi trovo con il risulato e non penso stia sbagliando i conti
Non riesco a capire il procedimento che utilizzi. In ogni caso, prova a sostituire la tua soluzione nelle equazioni; potremmo avere il dubbio che sia una soluzione proporzionale a quella riportata dall'esercizio.
Sostituiamo nella prima equazione:
$(1-i)*(1+i) + i*2 + (-1+4i)*0 = 1 - i^2 + 2i = 1 + 1 + 2i = 2 + 2i != 0$
La soluzione non soddisfa l'equazione
Sostituiamo nella prima equazione:
$(1-i)*(1+i) + i*2 + (-1+4i)*0 = 1 - i^2 + 2i = 1 + 1 + 2i = 2 + 2i != 0$
La soluzione non soddisfa l'equazione
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