Determinare il piano parallelo a π contenente r.

[Serus]

Salve a tutti, dovrei fare quest'esercizio:

Fissato nello spazio della geometria elementare un riferimento cartesiano monometrico ortogonale,
si considerino la retta r :
${(x − y + z = 1),( x − 2y − z = 0):}$ e il piano $ π : x − y + z + 2 = 0$.
(i) Verificare che r e π sono paralleli e determinare la loro distanza.
(ii) Determinare il piano parallelo a π contenente r.
(iii) Il piano π `e esterno, secante oppure tangente alla sfera S : x^2 + y^2 + z^2 − 2x + 2y + 1 = 0 ?

Il punto (i) l'ho fatto : r e π sono paralleli e la loro distanza è radical3
Non so come fare il secondo..
so che, due piani per essere paralleli devono avere i valori a,b e c proporzionali sencondo una costante comune, ad esempio il piano π2: 2-2y+2z+2=0 sarà sicuramente parallelo a π, ma...come faccio a trovare il piano preciso che contiene r?
Qualcuno mi può aiutare? grazie! ^^

[Seneca1]

In questo caso è semplice perché uno dei due piani che definisce l'equazione della retta è quello richiesto dall'esercizio.

[Serus]

"Seneca":In questo caso è semplice perché uno dei due piani che definisce l'equazione della retta è quello richiesto dall'esercizio.

giusto...essendo la retta nello spazio una intersezione tra due piani ed essendo in questo caso r parallela a π, uno dei due piani che compone r sarà sicuramente parallelo a π ma...quale?
ovviamente $x-y+z-1=0$ essendo i coeff di x,y e z proporzionali a quelli di π (mentre scrivo mi sto rendendo conto che sono lento di comprendonio )
Grazie mille per la "dritta"!

e se invece r e π non fossero stati paralleli? in questo caso non può esistere un piano che è contemporaneamente parallelo a π e contenente r giusto?

[Seneca1]

Esatto. In generale questo esercizio si potrebbe risolvere così: si considera un punto $Q = (x_Q , y_Q , z_Q) \in r$ e il piano vettoriale $\pi_O : x - y + z = 0$; per trovare l'equazione del piano desiderato, che è del tipo $x - y + z + \alpha = 0$, bisogna determinare $\alpha$ in modo tale che questo piano contenga $Q$ (e quindi contenga tutta la retta), quindi è sufficiente considerare l'equazione
\[ x_Q - y_Q + z_Q + \alpha = 0 \]

[Serus]

"Seneca":Esatto. In generale questo esercizio si potrebbe risolvere così: si considera un punto $Q = (x_Q , y_Q , z_Q) \in r$ e il piano vettoriale $\pi_O : x - y + z = 0$; per trovare l'equazione del piano desiderato, che è del tipo $x - y + z + \alpha = 0$, bisogna determinare $\alpha$ in modo tale che questo piano contenga $Q$ (e quindi contenga tutta la retta), quindi è sufficiente considerare l'equazione
\[ x_Q - y_Q + z_Q + \alpha = 0 \]

\alpha si ricava banalmente da $\alpha = -x_Q + y_Q - z_Q $ (in questo caso) giusto?


Grazie mille ancora