Determinare il piano dato un punto e una retta
Salve ragazzi, ho un problema per quanto riguarda la determinazione di un piano dati un punto e una retta, questo è il testo dell'esercizio:
Determinare il piano passante per $P = (2; 3; 1)$ e $r) { ( 2x - 3y + z = 1 ),( x + 2y - z = 3 ):} $
come si dovrebbe svolgere? Grazie 1000
Determinare il piano passante per $P = (2; 3; 1)$ e $r) { ( 2x - 3y + z = 1 ),( x + 2y - z = 3 ):} $
come si dovrebbe svolgere? Grazie 1000
Risposte
prima scrivo la retta in forma parametrica: pongo x=t risolvo il sistema e trovo x=t ; y=4-3t ; z=5-5t
la retta si scrive allora r= (1,-3,-5)t + (0,4,5) un generico piano che contiene r sarà indicato dalle coordinate parametriche p= (a,b,c)u + (1,-3,-5)t + (0,4,5) io voglio che P\(\in \)p fisso per comodità t=0 e u=1
ottengo allora le equazioni 2=a; 3=b+4; 1=c+5 risolvo banalmente e trovo p= (2,-1,-4)u +(1,-3,-5)t +(0,4,5)
la retta si scrive allora r= (1,-3,-5)t + (0,4,5) un generico piano che contiene r sarà indicato dalle coordinate parametriche p= (a,b,c)u + (1,-3,-5)t + (0,4,5) io voglio che P\(\in \)p fisso per comodità t=0 e u=1
ottengo allora le equazioni 2=a; 3=b+4; 1=c+5 risolvo banalmente e trovo p= (2,-1,-4)u +(1,-3,-5)t +(0,4,5)
In realtà le equazioni parametriche della retta r sono :
\(\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=3t-4\\z=7t-11\end{cases} \)
oppure $r: (x,y,z)=(0,-4,-11)+(1,3,7)t$
e quindi la risposta di Ermes andrebbe modificata di conseguenza. Un procedimento leggermente più semplice potrebbe essere il seguente.
Il fascio di piani di asse la retta r ha equazione :
(1) $lambda(2x-3y+z-1)+mu(x+2y-z-3)=0$
Imponendo il passaggio per $P(2,3,1)$ si ha :
$-5lambda+4 mu=0$ da cui: ${lambda}/{mu}={4}/{5}$
Possiamo scegliere $lambda=4,mu=5$ e sostituendo tali valori nella (1), con qualche semplice calcolo, si trova l'equazione del piano rP:
$13x-2y-z-19=0$
\(\displaystyle \begin{cases}x=t\\y=3t-4\\z=7t-11\end{cases} \)
oppure $r: (x,y,z)=(0,-4,-11)+(1,3,7)t$
e quindi la risposta di Ermes andrebbe modificata di conseguenza. Un procedimento leggermente più semplice potrebbe essere il seguente.
Il fascio di piani di asse la retta r ha equazione :
(1) $lambda(2x-3y+z-1)+mu(x+2y-z-3)=0$
Imponendo il passaggio per $P(2,3,1)$ si ha :
$-5lambda+4 mu=0$ da cui: ${lambda}/{mu}={4}/{5}$
Possiamo scegliere $lambda=4,mu=5$ e sostituendo tali valori nella (1), con qualche semplice calcolo, si trova l'equazione del piano rP:
$13x-2y-z-19=0$
"ciromario":
$ -5lambda+4 mu=0 $ da cui: $ {lambda}/{mu}={4}/{5} $
Possiamo scegliere $ lambda=4,mu=5 $ e sostituendo tali valori nella (1), con qualche semplice calcolo, si trova l'equazione del piano rP:
$ 13x-2y-z-19=0 $
come mai $ {lambda}/{mu}={4}/{5} $ se l'equazione che abbiamo è $ -5lambda+4 mu=0 $ ???
Si tratta di semplici passaggi.
Da $-5lambda+4mu=0 $ hai $5 lambda=4mu$
Dividendo ambo i membri per $5 mu$ ricavi che :
${5 lambda}/{5 mu}={4 mu}/{5 mu}$
Da cui appunto :
${lambda}/ {mu}=4/5$
Inoltre, poiché $lambda$ e $mu$ sono definiti a meno di un comune fattore di proporzionalità, puoi porre:
$lambda=4, mu=5$
Da $-5lambda+4mu=0 $ hai $5 lambda=4mu$
Dividendo ambo i membri per $5 mu$ ricavi che :
${5 lambda}/{5 mu}={4 mu}/{5 mu}$
Da cui appunto :
${lambda}/ {mu}=4/5$
Inoltre, poiché $lambda$ e $mu$ sono definiti a meno di un comune fattore di proporzionalità, puoi porre:
$lambda=4, mu=5$
"giupar93":
Salve ragazzi, ho un problema per quanto riguarda la determinazione di un piano dati un punto e una retta, questo è il testo dell'esercizio:
Determinare il piano passante per $P = (2; 3; 1)$ e $r) { ( 2x - 3y + z = 1 ),( x + 2y - z = 3 ):} $
come si dovrebbe svolgere? Grazie 1000
al caso di 3 dimensioni.. cioè in $RR^3$ ti avevo già fatto 1 esempio precedentemente
clicca qui è la seconda risposta al tuo quesito..
tu avevi formulato 1 quesito..ecco io ti ho risposto per secondo.. e ti ho fatto 1 esempio in 3 dimensioni
"ciromario":
Inoltre, poiché $lambda$ e $mu$ sono definiti a meno di un comune fattore di proporzionalità, puoi porre:
$lambda=4, mu=5$
Puoi spiegarti meglio per favore?
EDIT
avevo letto male il testo dell'esercizio.
Perdonatemi.
avevo letto male il testo dell'esercizio.
Perdonatemi.
@Giupar
Dall'eguaglianza ${lambda}/{mu}=4/5$ si deduce che : $lambda=4k,mu=5k$, dove k è il comune fattore di proporzionalità. Il valore di k è arbitrario ( l'importante è che il rapporto ${lambda}/{mu}$ rimanga uguale a $4/5$) e quindi ponendo ad esempio $k=1$ risulta appunto $lambda=4,mu=5$. Anche se fai una diversa scelta per k l'equazione del piano richiesto non cambia ( come puoi provare da solo scegliendo per k un qualsiasi altro valore).
@21zuclo
Perché ti ostini a calcolare la distanza tra P ed r ? Il quesito chiede l'equazione del piano Pr, non la distanza Pr...
Dall'eguaglianza ${lambda}/{mu}=4/5$ si deduce che : $lambda=4k,mu=5k$, dove k è il comune fattore di proporzionalità. Il valore di k è arbitrario ( l'importante è che il rapporto ${lambda}/{mu}$ rimanga uguale a $4/5$) e quindi ponendo ad esempio $k=1$ risulta appunto $lambda=4,mu=5$. Anche se fai una diversa scelta per k l'equazione del piano richiesto non cambia ( come puoi provare da solo scegliendo per k un qualsiasi altro valore).
@21zuclo
Perché ti ostini a calcolare la distanza tra P ed r ? Il quesito chiede l'equazione del piano Pr, non la distanza Pr...
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