Determinare generico endomorfismo

[ciccio83a]

Salve,
in un compito di algebra lineare mi viene chiesto di determinare il generico endomorfismo $g$ di $RR^3$ tale che:
$Ker(g_Of)=L(v_1,v_2)$ (ker(g composto f) = Combinazione lineare di v1 e v2) e $Im(g_Of)=L(v2)$
come faccio a risolvere questo quesito?
Grazie...

PS: I vettori sono: $v_1=(1,1,1), v_2=(2,0,1), v_3=(-2,1,-1)$ e la matrice associata ad f è: $M_f=((1,0,2),(-1,2,2),(-1,0,4))$

[pat871]

Io ti consiglierei dapprima di determinare l'endomorfismo $gof$ generico nella base (dimostralo!) $v_1,v_2,v_3$, che secondo me si rappresenta molto più semplicemente. Poi, con un cambio di base, puoi ritornare nella base ortonormale di sempre $e_1,e_2,e_3$.

Consideriamo l'endomorfismo nella base $v_1,v_2$ e $v_3$, come si trasformano sotto $g o f$?
Cos'è $go f(v_1), gof (v_2) gof (v_3)$? Da qui puoi determinare l'endomorfismo $g o f$ nella base $v_1, v_2, v_3$. Mentre con un cambiamento di base hai lo stesso endomorfismo rispetto alla base canonica.

Ok?