Determinare dimensione e base dell'intersezione
Buonasera amici, ora ricomincio con la determinazione delle basi e dei vari esercizi al contorno. Nel seguente esercizio bisogna determinare la dimensione e la base dell'intersezione di due sottospazi vettoriali.
Siano
\(\displaystyle W_1 \) sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \) generato dai vettori
\(\displaystyle u_1=(1,1,-1) \) \(\displaystyle u_2=(2,-1,1) \)
\(\displaystyle W_2 \) sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \) generato dai vettori
\(\displaystyle v_1=(1,2,-1) \) \(\displaystyle u_2=(-1,-1,2) \)
Procedo con il calcolo delle basi
per \(\displaystyle W_1 \) si ha che i seguenti vettori che appartengono a \(\displaystyle W_1 \) formano una base
lo stesso anche per \(\displaystyle W_2 \). Quindi ho le basi di entrambi i sottospazi vettoriali e le loro dimensione che sono \(\displaystyle dim(W_1)=dim(W_2)=2 \)
Ora per determinare la dimensione di \(\displaystyle W_1 \cap W_2 \) devo conoscere la dimensione \(\displaystyle W_1+W_2 \). Quindi procedo con l'eliminazione di Gauss, nel seguente modo
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \)
la riduco e ottengo la dimensione \(\displaystyle W_1+W_2 \) che sarebbe il numero di pivot che è 3.
Tenendo presente la seguente formula ho:
\(\displaystyle dim(W_1) \) \(\displaystyle + \)\(\displaystyle dim(W_2) \)-\(\displaystyle (W_1+W_2) \)\(\displaystyle = dim(W_1\cap W_2) \)
Ovvero
\(\displaystyle (2)+(2)-(3)=1 \)
Adesso qua mi blocco, procedo nel seguente modo
ora un vettore \(\displaystyle w\in W_1\cap W_2 \) se e solo se \(\displaystyle w\in W_1 \) e \(\displaystyle w\in W_2 \) allora
\(\displaystyle x_1u_1+x_2u_2=x_3v_1+x_4v_4 \to x_1u_1+x_2u_2-x_3v_1-x_4v_4 =(0,0,0) \)
Sto procedendo bene ??
Grazie
Siano
\(\displaystyle W_1 \) sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \) generato dai vettori
\(\displaystyle u_1=(1,1,-1) \) \(\displaystyle u_2=(2,-1,1) \)
\(\displaystyle W_2 \) sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \mathbb{R^3} \) generato dai vettori
\(\displaystyle v_1=(1,2,-1) \) \(\displaystyle u_2=(-1,-1,2) \)
Procedo con il calcolo delle basi
per \(\displaystyle W_1 \) si ha che i seguenti vettori che appartengono a \(\displaystyle W_1 \) formano una base
lo stesso anche per \(\displaystyle W_2 \). Quindi ho le basi di entrambi i sottospazi vettoriali e le loro dimensione che sono \(\displaystyle dim(W_1)=dim(W_2)=2 \)
Ora per determinare la dimensione di \(\displaystyle W_1 \cap W_2 \) devo conoscere la dimensione \(\displaystyle W_1+W_2 \). Quindi procedo con l'eliminazione di Gauss, nel seguente modo
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \)
la riduco e ottengo la dimensione \(\displaystyle W_1+W_2 \) che sarebbe il numero di pivot che è 3.
Tenendo presente la seguente formula ho:
\(\displaystyle dim(W_1) \) \(\displaystyle + \)\(\displaystyle dim(W_2) \)-\(\displaystyle (W_1+W_2) \)\(\displaystyle = dim(W_1\cap W_2) \)
Ovvero
\(\displaystyle (2)+(2)-(3)=1 \)
Adesso qua mi blocco, procedo nel seguente modo
ora un vettore \(\displaystyle w\in W_1\cap W_2 \) se e solo se \(\displaystyle w\in W_1 \) e \(\displaystyle w\in W_2 \) allora
\(\displaystyle x_1u_1+x_2u_2=x_3v_1+x_4v_4 \to x_1u_1+x_2u_2-x_3v_1-x_4v_4 =(0,0,0) \)
Sto procedendo bene ??
Grazie
Risposte
"galles90":
Sto procedendo bene ??
mi sembra tutto corretto, ma non ho controllato la dimensione dell'intersezione. d'altronde puoi velocizzare le cose calcolando solo la base e da quella dedurre la dimensione. ti risparmi un po' di conti almeno.
Ciao cooper,
Grazie per la risposta
In linea di massima si dovrebbe trovare, perché il risultato sul libro è quello.
Tu dici di calcolare la base dell'intersezione ?
Se è cosi...è questo il problema
Grazie per la risposta
In linea di massima si dovrebbe trovare, perché il risultato sul libro è quello.
Tu dici di calcolare la base dell'intersezione ?
Se è cosi...è questo il problema
"galles90":
In linea di massima si dovrebbe trovare, perché il risultato sul libro è quello.
quale è il risultato?
"galles90":
Tu dici di calcolare la base dell'intersezione ?
non lo dico io ma il testo dell'esercizio. se non ti avesse chiesto la base dell'intersezione in modo esplicito allora il tuo calcolo della dimensione era più veloce. qui invece lo reputo inutile.
"galles90":
Se è cosi...è questo il problema
e perchè scusa? hai scritto correttamente la condizione di appartenenza all'intersezione. adesso risolvi il sistema rispetto ad $x_1, x_2$ sostituiscili nell'espressione di $W_1$ che hai trovato e scrivi la base.
Ciao cooper,
il risultato inerente alla \(\displaystyle dim(W_1 \cap W_2) \) si trova, ovvero la \(\displaystyle dim(W_1 \cap W_2)=1 \).
Tu mi stai chiedendo di risolvere questo sistema * per determinare una base dell'intersezione
\(\displaystyle \begin{cases} x_1+2x_2-x_3+x_4=0 \\ x_1-x_2-2x_3+x_4=0 \\ x_2-x_1+x_3-2x_4=0 \end{cases} \)
il risultato inerente alla \(\displaystyle dim(W_1 \cap W_2) \) si trova, ovvero la \(\displaystyle dim(W_1 \cap W_2)=1 \).
Tu mi stai chiedendo di risolvere questo sistema * per determinare una base dell'intersezione
\(\displaystyle \begin{cases} x_1+2x_2-x_3+x_4=0 \\ x_1-x_2-2x_3+x_4=0 \\ x_2-x_1+x_3-2x_4=0 \end{cases} \)
esatto, proprio quello.
ti invito a controllare a questa risposta che già ti avevo dato (sono praticamente identici) ed a riguardare il post che già ti avevo linkato nella risposta.
ti invito a controllare a questa risposta che già ti avevo dato (sono praticamente identici) ed a riguardare il post che già ti avevo linkato nella risposta.
Grazie cooper,
proprio simile !! ricapitolando quando mi trovo un esercizio di questo tipo, per determinare una base dove il sottospazio vettoriale è espresso tramite generatori.
Determino dimensione e base dei rispettivi sottospazi, ovvero per determinare una base del sottospazio in questione, devo verificare che i generatori \(\displaystyle u_1, u_2 \) sono esprimibile come combinazione lineare di un terzo vettore\(\displaystyle v \) cioè posso scrivere \(\displaystyle v=u_1+u_2 \). Inoltre devo verificare che \(\displaystyle u_1, u_2 \) siano linearmente indipendenti.
Giusto ?
Questa è sola una parte dell'esercizio
proprio simile !! ricapitolando quando mi trovo un esercizio di questo tipo, per determinare una base dove il sottospazio vettoriale è espresso tramite generatori.
Determino dimensione e base dei rispettivi sottospazi, ovvero per determinare una base del sottospazio in questione, devo verificare che i generatori \(\displaystyle u_1, u_2 \) sono esprimibile come combinazione lineare di un terzo vettore\(\displaystyle v \) cioè posso scrivere \(\displaystyle v=u_1+u_2 \). Inoltre devo verificare che \(\displaystyle u_1, u_2 \) siano linearmente indipendenti.
Giusto ?
Questa è sola una parte dell'esercizio
non ho capito cosa mi stai chiedendo. se hai dei generatori:
1. trovi una base per i due sottospazi
2. un vettore per appartenere all'intersezione deve poter essere scritto come combinazione lineare degli elementi di entrambe le basi. quindi imponi l'uguaglianza e risolvi il sistema
3. trovati i coefficienti li sostituisci nella combinazione lineare che descrive il primo sottospazio (per esempio), svogli i calcoli e trovi la base.
prova a continuare l'esercizio: trova, dal sistema che hai scritto, i coefficienti $x_1, x_2$. poi andiamo avanti.
1. trovi una base per i due sottospazi
2. un vettore per appartenere all'intersezione deve poter essere scritto come combinazione lineare degli elementi di entrambe le basi. quindi imponi l'uguaglianza e risolvi il sistema
3. trovati i coefficienti li sostituisci nella combinazione lineare che descrive il primo sottospazio (per esempio), svogli i calcoli e trovi la base.
prova a continuare l'esercizio: trova, dal sistema che hai scritto, i coefficienti $x_1, x_2$. poi andiamo avanti.
Seguendo l'esercizio del post vecchio, il risultato è corretto. Grazie.
"non ho capito cosa mi stai chiedendo "
Sto chiedendo una conferma su come determinare una base, quando uno spazio vettoriale è espresso da un sistema di generatori. Visto che sono le prime vorrei avere idee più chiare
"non ho capito cosa mi stai chiedendo "
Sto chiedendo una conferma su come determinare una base, quando uno spazio vettoriale è espresso da un sistema di generatori. Visto che sono le prime vorrei avere idee più chiare
intendevo non capisco la frase:
mi sembra alquanto confusa.
la tecnica ti ho suggerito però vale quando lo spazio che stai considerando è l'intersezione. per un generico sottospazio espresso da dei generatori, il metodo non è quello. non avrebbe senso scrivere il vettore come combinazione lineare di vettori di un altro sottospazio.
"galles90":
Determino dimensione e base dei rispettivi sottospazi, ovvero per determinare una base del sottospazio in questione, devo verificare che i generatori u1,u2 sono esprimibile come combinazione lineare di un terzo vettore v cioè posso scrivere v=u1+u2. Inoltre devo verificare che u1,u2 siano linearmente indipendenti.
mi sembra alquanto confusa.
"galles90":
Sto chiedendo una conferma su come determinare una base, quando uno spazio vettoriale è espresso da un sistema di generatori.
la tecnica ti ho suggerito però vale quando lo spazio che stai considerando è l'intersezione. per un generico sottospazio espresso da dei generatori, il metodo non è quello. non avrebbe senso scrivere il vettore come combinazione lineare di vettori di un altro sottospazio.
Non mi sono espresso bene, pardon
La domanda che ti ho fatto non riguarda questo esercizio, cioè volevo sapere per determinare una base di un generico sottospazio vettoriale determinato da un sistema di generatori, che non sia un intersezione con un altro sottospazio vettoriale cioè solo un sottospazio vettoriale. Come posso procedere, quali sono i passi da fare.
Io procedo in questo modo
\(\displaystyle * \) verifico l'esistenza di un vettore \(\displaystyle v \) che sia combinazione lineare, dei generatori in gioco.
\(\displaystyle ** \) verifico se i generatori sono linearmente indipendenti.
Se sono entrambe soddisfate, ho determinato una base.
Anche se sono un po' confuso sulla prima condizione !!
La domanda che ti ho fatto non riguarda questo esercizio, cioè volevo sapere per determinare una base di un generico sottospazio vettoriale determinato da un sistema di generatori, che non sia un intersezione con un altro sottospazio vettoriale cioè solo un sottospazio vettoriale. Come posso procedere, quali sono i passi da fare.
Io procedo in questo modo
\(\displaystyle * \) verifico l'esistenza di un vettore \(\displaystyle v \) che sia combinazione lineare, dei generatori in gioco.
\(\displaystyle ** \) verifico se i generatori sono linearmente indipendenti.
Se sono entrambe soddisfate, ho determinato una base.
Anche se sono un po' confuso sulla prima condizione !!
anche io sono un po' confuso. se sai che dei vettori generano lo spazio, vuol dire che qualunque vettore dello spazio può essere scritto come combinazione lineare di quei vettori. quindi devi verificare solo la lineare indipendenza. (per essere base infatti devono essere un sistema di generatori, ma questo è gratis perchè detto dal testo e devono poi essere l.i., e questo devi verificarlo)
Ahahaha anche tu sei un po' confuso
Ok comunque penso di aver capito, ora devo solo fare un po' d'ordine.. e mettere i puntini sulle i.
Grazie
Ok comunque penso di aver capito, ora devo solo fare un po' d'ordine.. e mettere i puntini sulle i.
Grazie
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