Determinare base per ker(f) e im(f)
ciao a tutti..
ho qualche difficolta a individuare basi per l im(f) e ker(f)..
le loro dimensioni riesco a individuarle attraverso la matrice rappresentativa,in cui individuo il rango che è uguale alla dim im(f) e da essa ne trovo la dim ker(f)..
Come faccio ad individuare la base per l'im o il ker?
avendo i vettori
$\a=(1,0,2); b=(2,1,0); c=(4,1,2)
$\f(a)=f(c)=(2,2,2); f(b)=0
il libro dice che la base per il ker(f) sono i vettori $\c-a=(3,1,0),b=(2,1,0)$ (ma perchè hanno 0 come componenti del vettore??in questo caso non potevano essere basi per il ker(f) anche i vettori $\a=(1,0,2),c-b=(2,0,2)$ ??)
mentre la base di im(f) è il vettore (2,2,2) che non è nullo
vorrei sapere se c'è un procedimento matematico per individuarle
ho qualche difficolta a individuare basi per l im(f) e ker(f)..
le loro dimensioni riesco a individuarle attraverso la matrice rappresentativa,in cui individuo il rango che è uguale alla dim im(f) e da essa ne trovo la dim ker(f)..
Come faccio ad individuare la base per l'im o il ker?
avendo i vettori
$\a=(1,0,2); b=(2,1,0); c=(4,1,2)
$\f(a)=f(c)=(2,2,2); f(b)=0
il libro dice che la base per il ker(f) sono i vettori $\c-a=(3,1,0),b=(2,1,0)$ (ma perchè hanno 0 come componenti del vettore??in questo caso non potevano essere basi per il ker(f) anche i vettori $\a=(1,0,2),c-b=(2,0,2)$ ??)
mentre la base di im(f) è il vettore (2,2,2) che non è nullo
vorrei sapere se c'è un procedimento matematico per individuarle
Risposte
Se il riferimento è quello naturale, allora la base dell' $Imf$ è formata dai vettori colonna che intersecano il minore fondamentale (ovvero quello che ti ha fatto capire quant'è il rango della matrice associata). Mentre per quanto riguarda il $Kerf$ per ottenere la base, devi scrivere il sistema lineare omogeneo $AX=O$ dove A è la matrice associata, X la matrice le cui colonne sono le incognite e poni il tutto uguale a 0. Risolvi il sistema e i vettori che trovi sono proprio quelli che formano la tua base
quindi per determinare la base del ker mi devo comunque calcolare prima la matrice associata?
in questo esercizio ho trovato la matrice associata $\A= ((0,0,1),(0,0,1),(0,0,1))
per im(f) non ho capito cosa significa"è formata dai vettori colonna che intersecano il minore fondamentale"
in questo esercizio ho trovato la matrice associata $\A= ((0,0,1),(0,0,1),(0,0,1))
per im(f) non ho capito cosa significa"è formata dai vettori colonna che intersecano il minore fondamentale"
Si, dopo esserti calcolata la matrice associata calcoli la funzione di un generico vettore $(x,y,z)$ e la poni uguale a $(0,0,0)$. Ricavi le condizioni su x,y,z e hai trovato il ker.
Per quanto riguarda l'immagine, essendo f applicazione lineare, è il sotto spazio generato dai vettori colonna della tua matrice (attenta che non sono sempre indipendenti!).
Per quanto riguarda l'immagine, essendo f applicazione lineare, è il sotto spazio generato dai vettori colonna della tua matrice (attenta che non sono sempre indipendenti!).
visto che la matrice associata è (z,z,z) allora impongo il sistema $\{(z=0),(z=0),(z=0):}$
quindi in pratica quei vettori chje hanno la componente z=0 e quindi appunto i vettori b, c-a
per l'immagine invece devo scegliere quali tra i vettori colonna della matrice associata sono linearmente indipendenti e non nulli
quindi in questo caso l'unico non nullo e lin.indip. è il vettore (1,1,1)...ma la soluzione era (2,2,2)
perchè?
quindi in pratica quei vettori chje hanno la componente z=0 e quindi appunto i vettori b, c-a
per l'immagine invece devo scegliere quali tra i vettori colonna della matrice associata sono linearmente indipendenti e non nulli
quindi in questo caso l'unico non nullo e lin.indip. è il vettore (1,1,1)...ma la soluzione era (2,2,2)
perchè?
c'è qualcuno che riesce a spiegarmi perche è (2,2,2) se tra i vettori colonna della matrice associata,l'unico lin.indip e non nullo è il vettore (1,1,1)?
Ricordati una cosa fondamentale: se $v$ è un vettore che genera uno spazio vettoriale $V$, e $u$ è un vettore linearmente DIPENDENTE da $v$, allora lo spazio generato da $u$ è sempre lo stesso $V$, quindi in $V$ ci stanno tutti i vettori linearmente dipendenti da $v$!!
Quindi nel tuo caso, $Imf$ è uno spazio vettoriale generato da $(2,2,2)$, ovvero $Imf = {w in RR^3 t.c. w=k(2,2,2) "per qualche" k in RR}$ cioè tutti quelli linearmente dipendenti da $(2,2,2)$.
Ora, se ci pensi, $(1,1,1)$ APPARTIENE all'$Imf$ che ho scritto sopra, infatti basta scegliere $k=1/2$.
Viceversa, tu dici che hai trovato il vettore $(1,1,1)$. Allora hai che $Imf = {w in RR^3 t.c. w=k(1,1,1) "per qualche" k in RR}$ cioè tutti quelli linearmente dipendenti da $(1,1,1)$.
Ora, se ci pensi, $(2,2,2)$ APPARTIENE a questa $Imf$, basta prendere $k=2$.
Infatti, le due $Imf$ che ho scritto, sono ESATTAMENTE LO STESSO SPAZIO, perchè generati da vettori linearmente dipendenti, quindi non fa differenza se tu scrivi che la base è $(1,1,1)$ o $(2,2,2$).
In effetti, riscrivendolo meglio, ti accorgi che $Imf$ contiene tutti i vettori del tipo $(k,k,k)$, quindi se tu dici che la base è $(1,1,1)$ o che è $(2,2,2)$ o che è $(200,200,200)$ sempre lo stesso spazio ottieni!
Analogamente, per fare il ker tu hai trovato che deve essere $z=0$. Allora NON PER FORZA devi prendere quei vettori là, ti basta prenderne due qualsiasi che abbiano $z=0$ (linearmente indipendenti però, perchè altrimenti cambi dimensione allo spazio che stavolta è 2).
Per esempio puoi prendere i vettori semplicissimi $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ e dire che la base del Ker è formata da questi due.
Infatti, se io scelgo proprio loro, avrò che $Kerf={w in R^3 t.c. w = h(1,0,0) + k(0,1,0) " per qualche "h in RR, k in RR}$ che è corretto, e non contrasta la soluzione che dici tu, infatti $b=(2,1,0)$ ci appartiene, basta scegliere $h=2$ e $k=1$, e anche $c-a=(3,1,0)$, basta scegliere $h=3$ e $k=1$.
Spero di essermi spiegato!
In caso chiedi.
Ciao
Quindi nel tuo caso, $Imf$ è uno spazio vettoriale generato da $(2,2,2)$, ovvero $Imf = {w in RR^3 t.c. w=k(2,2,2) "per qualche" k in RR}$ cioè tutti quelli linearmente dipendenti da $(2,2,2)$.
Ora, se ci pensi, $(1,1,1)$ APPARTIENE all'$Imf$ che ho scritto sopra, infatti basta scegliere $k=1/2$.
Viceversa, tu dici che hai trovato il vettore $(1,1,1)$. Allora hai che $Imf = {w in RR^3 t.c. w=k(1,1,1) "per qualche" k in RR}$ cioè tutti quelli linearmente dipendenti da $(1,1,1)$.
Ora, se ci pensi, $(2,2,2)$ APPARTIENE a questa $Imf$, basta prendere $k=2$.
Infatti, le due $Imf$ che ho scritto, sono ESATTAMENTE LO STESSO SPAZIO, perchè generati da vettori linearmente dipendenti, quindi non fa differenza se tu scrivi che la base è $(1,1,1)$ o $(2,2,2$).
In effetti, riscrivendolo meglio, ti accorgi che $Imf$ contiene tutti i vettori del tipo $(k,k,k)$, quindi se tu dici che la base è $(1,1,1)$ o che è $(2,2,2)$ o che è $(200,200,200)$ sempre lo stesso spazio ottieni!
Analogamente, per fare il ker tu hai trovato che deve essere $z=0$. Allora NON PER FORZA devi prendere quei vettori là, ti basta prenderne due qualsiasi che abbiano $z=0$ (linearmente indipendenti però, perchè altrimenti cambi dimensione allo spazio che stavolta è 2).
Per esempio puoi prendere i vettori semplicissimi $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ e dire che la base del Ker è formata da questi due.
Infatti, se io scelgo proprio loro, avrò che $Kerf={w in R^3 t.c. w = h(1,0,0) + k(0,1,0) " per qualche "h in RR, k in RR}$ che è corretto, e non contrasta la soluzione che dici tu, infatti $b=(2,1,0)$ ci appartiene, basta scegliere $h=2$ e $k=1$, e anche $c-a=(3,1,0)$, basta scegliere $h=3$ e $k=1$.
Spero di essermi spiegato!
In caso chiedi.
Ciao
ok ok il concetto l'ho capito..
l'unica cosa è che per trovare la base dell'immagine devo scegliere tra i vettori colonna della matrice associata che sono linearmente indipendenti.
in questo caso visto che la matrice associata era: $\A= ((0,0,1),(0,0,1),(0,0,1))
quindi i vettori puo essere (1,1,1) visto che (0,0,0) è nullo
nel caso ad esempio la matrice associata era $\A= ((0,1,2),(3,0,1),(1,7,1))
potevo scegliere come basi tra i vettori:(0,3,1) (1,0,7) (2,1,1)?
cioe non ho capito se la base dell'immagine puo essere considerata uno dei vettori colonna della matrice associata
l'unica cosa è che per trovare la base dell'immagine devo scegliere tra i vettori colonna della matrice associata che sono linearmente indipendenti.
in questo caso visto che la matrice associata era: $\A= ((0,0,1),(0,0,1),(0,0,1))
quindi i vettori puo essere (1,1,1) visto che (0,0,0) è nullo
nel caso ad esempio la matrice associata era $\A= ((0,1,2),(3,0,1),(1,7,1))
potevo scegliere come basi tra i vettori:(0,3,1) (1,0,7) (2,1,1)?
cioe non ho capito se la base dell'immagine puo essere considerata uno dei vettori colonna della matrice associata
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