Determinare base dalla somma di sottospazi.

[galles90]

Buonasera e buone feste

Si determini una base dello spazio somma dei seguenti sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R^4} \)
\(\displaystyle U=<(4,-1,0,1),(2,1,2,3)> \)
\(\displaystyle V=<(4,2,0,2),(1,-1,-1,-1)> \)

Procedo nel seguente modo:

1) Verifico se i due sistemi sono linearmente indipendenti, con semplici calcoli si verifica che sono linearmente indipendenti. Quindi i vettori che compongono rispettivamente i sottospazi \(\displaystyle U,V \) sono delle basi.

2 ) Unisco le due basi \(\displaystyle B_U \) \(\displaystyle \cup \) \(\displaystyle B_V \) di cui estraggo una base, cioè :
\(\displaystyle A= \begin{cases} 4x+2y+4z+t=0 \\ -x+y+2z-t=0 \\ 2y-t=0 \\ x+3y+2z-t=0 \end{cases} \)
\(\displaystyle A= \begin{cases} x+y+z=0 \\ -x-y+2z=0 \\ 2y=t \\ x+y+2z=0 \end{cases} \)
\(\displaystyle A= \begin{cases} z=-x-y \\ 3z=0 \\ 2y=t \\ 2z=z \end{cases} \)
\(\displaystyle A= \begin{cases} x=-y \\ z=0 \\ 2y=t \\ \end{cases} \)
si ha un incognita libera, quindi i seguenti vettori risultano linearmente dipendenti.

Ora estraggo uno o più vettori dal sistema di generatori \(\displaystyle B_U \) \(\displaystyle \cup \) \(\displaystyle B_V \) in modo che risultino linearmente indipendenti.
Io ho individuato i seguenti vettori
\(\displaystyle x_1=(4,-1,0,1) , x_2=(2,1,2,3), x_3=(4,2,0,2)\) quindi i vettori appena citati risultano linearmente indipendenti, quindi formano una base.

Sono corretti i seguenti passagi, oppure ho scritto una chiavica?

Ciao

[sandroroma]

Si poteva anche osservare che la matrice 4x4 formata dai 4 vettori assegnati ha determinante nullo mentre
la matrice formata dalle prime 3 righe e le prime 3 colonne ha determinante non nullo. Pertanto i primi
3 vettori dati formano una base.

[Samy211]

"galles90":
Sono corretti i seguenti passagi, oppure ho scritto una chiavica?

Diciamo che tutto dipende dal metodo che adotta il tuo prof. Generalmente è più facile usare le matrici, mettendo i vettori in colonna e calcolando il determinante della matrice.
Dalla teoria sappiamo che i vettori che compongono una base devono essere l.i. e quindi se il rango della matrice non è massimo possiamo dedurre che c'è qualche vettore che si può scrivere come c.l. degli altri pertanto non può essere elemento della base.

Buone feste, ciao!

[galles90]

Buongiorno a voi,
il metodo che avete citato in effeti e quello che è riportato sul mio libro degli esercizi, dove come risultato mi dà i seguenti vettori: \(\displaystyle x_1=(1,-1,-1,-1), x_2=(0,3,4,5),x_3=(0,0,-4,-4) \).
Il mio dubbio erano i passaggi e il risultato, ma dato che ogni spazio ha infinite basi, il risultato diverso è frutto dei passaggi diversi , giusto ?